2019年全国各地中考数学压轴题分类汇编：几何综合(浙江专版)(解析卷)

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2019年全国各地中考数学压轴题分类汇编（浙江专版）

几何综合

参考答案与试题解析

1．（2019?杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2． （1）求线段CE的长；

（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．

解：（1）设正方形CEFG的边长为a， ∵正方形ABCD的边长为1， ∴DE＝1﹣a， ∵S1＝S2，

∴a＝1×（1﹣a）， 解得，

即线段CE的长是

（舍去），

；

，

2

（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC＝1， ∴CH＝0.5， ∴DH＝

∵CH＝0.5，CG＝∴HG＝

，

＝

， ，

∴HD＝HG．

2．（2019?杭州）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA． （1）若∠BAC＝60°， ①求证：OD＝OA．

②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．

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（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．

解：（1）①连接OB、OC，

则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°， ∴∠OBC＝30°， ∴OD＝OB＝OA； ②∵BC长度为定值，

∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大， 当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD＝， △ABC面积的最大值＝×BC×AD＝×2OBsin60°×＝（2）如图2，连接OC，

；

设：∠OED＝x，

则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，

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则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC， ∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，

∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx， ∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x， 即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x， 化简得：m﹣n+2＝0．

3．（2019?宁波）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上． （1）求证：BG＝DE；

（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．

解：（1）∵四边形EFGH是矩形， ∴EH＝FG，EH∥FG， ∴∠GFH＝∠EHF，

∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF， ∴∠BFG＝∠DHE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠GBF＝∠EDH， ∴△BGF≌△DEH（AAS）， ∴BG＝DE； （2）连接EG，

∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵E为AD中点， ∴AE＝ED， ∵BG＝DE，

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∴AE＝BG，AE∥BG， ∴四边形ABGE是平行四边形， ∴AB＝EG， ∵EG＝FH＝2， ∴AB＝2，

∴菱形ABCD的周长＝8．

4．（2019?宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线． （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点． 求证：四边形ABEF是邻余四边形．

（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．

（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．

解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∠FAB与∠EBA互余， ∴四边形ABEF是邻余四边形； （2）如图所示（答案不唯一），

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