选修1-2 第二章《推理与证明》师用

7．已知实数a≠0，f?x??ax2?1??2x?1~5 BCBAA 6．1 7．1

????1??有最小值－1，则a =________． a?【能力提高】

8．已知：A+B=

?，求证：(1+ tan A)(1+tan B)=2． 4

9．已知：0?a?1，求证：

14??9． ?? a1?a

10．用适当方法证明：已知：a?0，b?0，求证：ab??a?b． ba

§2.2.2 反证法

【知识要点】

? 反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明

了原命题成立．这样的证明方法叫反证法． ? 应用反证法证明命题的步骤：

（1）分清命题的条件和结论； （2）做出与命题结论相矛盾的假设；

（3）由假设出发，应用演绎推理的方法，推出矛盾的结果；

（4）断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．

【例题精讲】

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【例 1】用反证法证明，若a?b?0，则a?b．

【例 2】已知函数f?x??ax?x?2?a?1?，请用反证法证明f?x??0没有负实数根． x?1

【例 3】证明5是无理数．

【例 4】已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径．

求证：弦AB、CD不被P平分．

【基础达标】

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1．下列证明方法中属“间接证法”的是（ ）

A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．数学归纳法 2．用反证法证明：“a>b”．应假设（ ）

A．a>b B．a

A．由已知出发推出与假设矛盾 B．由假设出发推出与已知矛盾 C．由已知和假设出发推出矛盾 D．以上说法都不对 4．实数a、b、c不全为0的条件是（ ）

A．a、b、c均不为0 B．a、b、c中至少有一个为0 C．a、b、c至多有一个为0 D．a、b、c至少有一个不为0

5．反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，反设正确的是（ ） A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60°

C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60°

6．用反证法证明：“f?n?被4除余1”，应假设____________________即______________________． 7．设实数a，b，c成等比数列，非零实数x、y分别为a与b，b与c的等差中项，则

ac?=_______． xy1~5 CDBDB 6．f (n)被4除不余1；f (n)被4整除或余2，余3 7．2

【能力提高】

8．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°．

9．求证：y?ax?2bx?c，y?bx?2cx?a，y?cx?2ax?b（a，b，c是互不相等的实数），3条抛物线至少有一条与x轴有两个交点．

222

10．平面内有四个点，没有三点共线，证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．

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第二章 推理与证明 复习

【学习目标】

理解合情推理、演绎推理的联系与区别；理解直接证明与间接证明的方法、步骤．能体会推理方法在探索和问题解决中的思路及作用，并能掌握数学证明的方法．

【例题精讲】

【例 1】已知数列?an?的通项公式an=1?n?1?2?n?N??，记f?n???1?a1??1?a2???1?an?，

试通过计算f?1?，f?2?，f?3?的值，推测出f?n?的值．

【例 2】在平面几何中，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2．”

拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 ．”

【例 3】对于直线l：y=kx+1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2=1的交点A、B

关于直线y=ax（a为常数）对称? 若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

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