北京师范大学附属中学2017-2018学年高二下学期期末统一考试数学（理）试题（解析版）

1

，，

即，故答案为.

求斜率,

点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点即求该点处的导数

；(2) 己知斜率求切点

即解方程

；(3) 巳知切线过某点

(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.

16.江湖传说，蜀中唐门配置的天下第一奇毒“含笑半步癫”是由种藏红花，种南海毒蛇和种西域毒草顺次添加炼制而成，其中藏红花添加顺序不能相邻，同时南海毒蛇的添加顺序也不能相邻，现要研究所有不同添加顺序对药效的影响，则总共要进行__________此实验． 【答案】【解析】

分析：先不考虑蛇共有

种排法，再减去蛇相邻的情况，即可得出结论．

种，

.

详解：先不考虑蛇，先排蛇与毒草有再排藏红花有

种，共有

种， 种，

.

其中蛇相邻的排法共有

，故答案为

点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.以下是某地搜集到的新房源的销售价格（万元）和房屋的面积房屋面积 的数据：

销售价格（万元） 1

（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程； （2）请根据（1）中的线性回归方程，预测该地当房屋面积为

时的销售价格。

，

【答案】(1) (2) 该地房屋面积为【解析】

，其中.

，

时的销售价格为万元.

分析：（1）先求出和的平均数，将数据代入即可得到线性回归方程；（2）将详解：（1）

设所求线性回归方程为，则

，计算出的值，最后根据，求出的值，时的销售价格.

代入所求的线性回归方程可估计当房屋面积为

1

∴

∴所求线性回归方程为（2）当

（万元）

时，销售价格的估计值为

时的销售价格为万元

所以该地房屋面积为

点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算

的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是

一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.

18.已知二项式（1）求的值； （2）求【答案】(1) (2)0. 【解析】

.

的展开式的第项为常数项

的值

【详解】分析：（1）利用二项式展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为零，即可求出的值；（2）结

合

（

1

）

化

为

.

详解：（1）二项式通式因为第项为常数项， 所以解得

，

1

（2）因为所以

，

当

时，

所以原式

点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及二项式的应用，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式

；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的

二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 19.设为虚数单位，为正整数，（1）证明：（2）

，利用（1）的结论计算

； 。

【答案】(1)证明见解析. (2) 【解析】

分析：（1）利用数学归纳法先证明，先证明当

时成立，假设当

时，命题成立，只需证明当

.

时，命题也成立，证明过程注意三角函数和差公式的应用；（2）由（1）结论得

详解：（1）1°当左边

所以命题成立 2°假设当即

时，命题成立，

，

时， ，右边

，

，结合诱导公式与特殊角的三角函数可得结果.