2014高考数学一轮汇总训练《函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用》理 新人教A版

第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单

应用

[备考方向要明了]

考 什 么 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数怎 么 考 1.以选择题的形式考查三角函数的图象变换及由图象确定解析式等，如2012年浙江T4等． 2.与三角恒等变换相结合考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用且以解答题的形式考查，如2012年安徽T16等. A，ω，φ对函数图象变化的影响． 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.

[归纳·知识整合]

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 2π ω频率 1ω相位 初相 A T＝f＝＝ ωx＋φ T2πφ 2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

x ωx＋φ －φ ω－φπ＋ ω2ωπ 2π－φ ωπ 3πφ－ 2ωω3π 2－A 2π－φ ω2π 0 y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 0 1

[探究] 1.用五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，应首先确定哪些数据？

π3π

提示：先确定ωx＋φ，即先使ωx＋φ等于0，，π，，2π，然后求出x的值．

223．函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤 法一 法二

[探究] 2.在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？

?φ?提示：可以看出，前者平移|φ|个单位，后者平移??个单位，原因在于相位变换和?ω?

周期变换都是针对变量x而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．

[自测·牛刀小试]

?π??π?1．(教材习题改编)为了得到函数y＝3sin?x－?的图象，只要把函数y＝3sin?x＋?5?5???

的图象上所有的点( )

π

A．向右平行移动个单位长度

5π

B．向左平行移动个单位长度

52π

C．向右平行移动个单位长度

52π

D．向左平行移动个单位长度

5

2?π?π????x－π?＋?， x－解析：选C ∵y＝3sin?＝3sin??5?????5?5?

2

?π??π?∴要得到函数y＝3sin?x－?的图象，应把函数y＝3sin?x＋?的图象上所有点向右

5?5???

2

平行移动π个单位长度．

5

π??2．(教材习题改编)y＝2sin?2x－?的振幅、频率和初相分别为( ) 4??1π

A．2，，－

π41πC．2，，－

π8

B．2，D．2，

1π

，－ 2π41π，－ 2π8

π??解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin?2x－?的振幅为2，周

4??1π

期为π，频率为，初相为－. π4

π

3．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横

10坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )

π??A．y＝sin?2x－? 10??

π??B．y＝sin?2x－?

5??

?1π?C．y＝sin?x－?

?210??1π?D．y＝sin?x－? ?220?

π?π?解析：选C 将y＝sin x的图象向右平移个单位得到y＝sin?x－?的图象，再将图10?10?

?1π?象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin?x－?的图象． ?210?

π

4．将函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)的图象向左平移个单位后，所得的函数恰好6是偶函数，则φ的值是________．

π

解析：函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后，

6

ππππ??得y＝sin?2x＋＋φ?，则＋φ＝kπ＋.又0≤φ≤π，故φ＝. 3326??π

答案： 6

5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.

T?π??2?

解析：由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可知：＝?－?－?－π?

2?3??3?

3

π＝， 3

2则T＝π.

3

2π2

∵T＝＝π，∴ω＝3.

ω3答案：3

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

π??[例1] 已知函数y＝2sin?2x＋?， 3??(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；

π??(3)说明y＝2sin?2x＋?的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．

3??π?2ππ?[自主解答] (1)y＝2sin?2x＋?的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.

3?23?π?π?(2)令X＝2x＋，则y＝2sin?2x＋?＝2sin X.

3?3?列表，并描点画出图象：

x X y＝sin X y＝2sin?2x＋? 3－π 6π 12π 21 2 π 3π 0 0 7π 123π 2－1 －2 5π 62π 0 0 0 0 ??π??0

π?π?(3)法一：把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin?x＋?的图

3?3?

4