4.4竖直平面内圆周运动的临界问题

§4.4竖直平面内圆周运动的临界问题

1.如图12所示,光滑的水平轨道AB,与半径为R的光滑的半圆形轨道BCD相切于B点,其中圆轨道在竖直平面内,B为最低点,D为最高点.为使一质量为m的小球以初速度v0沿AB运动,恰能通过最高点,则 A.R越大,v0越大

B.R越大,小球经过B点后瞬间对轨道的压力越大 C.m越大,v0越大

D.m与R同时增大,初动能Ek0增大

2．如图所示，用长为L的轻绳把一个小铁球悬挂在高2L的O点处，小铁球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B处，则有 ( )

A．小铁球在运动过程中轻绳的拉力最大为5mg B．小铁球在运动过程中轻绳的拉力最小为mg

C．若运动中轻绳断开，则小铁球落到地面时的速度大小为7gL D．若小铁球运动到最低点轻绳断开，则小铁球落到地面时的水平位移为2L

3.如图甲所示,在同一竖直平面内的两条正对着的相同半圆形的光滑轨道,相隔一定的距离,虚线沿竖直方向,一小球能在其间运动,今在最高点与最低点各放一个压力传感器,测试小球对轨道的压力,并通过计算机显示出来,当轨道距离变化时,测得两点压力差与距离x的图象如图乙所示,g取10 m/s2,不计空气阻力.求: (1)小球的质量为多少?

(2)若小球在最低点B的速度为20 m/s,为使小球能沿轨道运动,x的最大值为多少?

4．如图所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r＝0.4 m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看成重合。现有一可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的位置由静止释放。

(1)若要使小球经C处水平进入轨道DEF后能沿轨道运动，H至少要有多高？

(2)若小球静止释放处离C点的高度h小于(1)中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h。

5.如图所示,半径为R,内径很小的光滑半圆管道竖直放置,质量为m的小球以某一速度进入管内,小球通过最高点P时,对管壁的压力为0.5mg.求: (1)小球从管口飞出时的速率.

(2)小球落地点到P点的水平距离.

6.如图所示,半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置,两个质量均为m的小球A、B以不同的速度进入管内.A通过最高点C时,对管壁上部压力为3mg,B通过最高点C时,对管壁下部压力为0.75mg,求A、B两球落地点间的距离.

7.某校物理兴趣小组决定举行遥控塞车比赛。比赛路径如图所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，出B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟。已知赛车质量m＝0.1kg，通电后以额定功率ρ＝1.5W工作，进入竖直圆轨道前受到的阻值为0.3N，随后在运动中受到的阻力均可不计。图中L＝10.00m，R=0.32m，h＝1.25m,S＝1.50m。问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？（取g＝10 m/s2）

R

C A B L h

S

§4.4竖直平面内圆周运动的临界问题

1.如图12所示,光滑的水平轨道AB,与半径为R的光滑的半圆形轨道BCD相切于B点,其中圆轨道在竖直平面内,B为最低点,D为最高点.为使一质量为m的小球以初速度v0沿AB运动,恰能通过最高点,则 A.R越大,v0越大

B.R越大,小球经过B点后瞬间对轨道的压力越大 C.m越大,v0越大

D.m与R同时增大,初动能Ek0增大

2．如图所示，用长为L的轻绳把一个小铁球悬挂在高2L的O点处，小铁球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B处，则有 ( )

A．小铁球在运动过程中轻绳的拉力最大为5mg B．小铁球在运动过程中轻绳的拉力最小为mg

C．若运动中轻绳断开，则小铁球落到地面时的速度大小为7gL D．若小铁球运动到最低点轻绳断开，则小铁球落到地面时的水平位移为2L

3.如图甲所示,在同一竖直平面内的两条正对着的相同半圆形的光滑轨道,相隔一定的距离,虚线沿竖直方向,一小球能在其间运动,今在最高点与最低点各放一个压力传感器,测试小球对轨道的压力,并通过计算机显示出来,当轨道距离变化时,测得两点压力差与距离x的图象如图乙所示,g取10 m/s2,不计空气阻力.求: (1)小球的质量为多少?

(2)若小球在最低点B的速度为20 m/s,为使小球能沿轨道运动,x的最大值为多少?

4．如图所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r＝0.4 m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看成重合。现有一可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的位置由静止释放。

(1)若要使小球经C处水平进入轨道DEF后能沿轨道运动，H至少要有多高？

(2)若小球静止释放处离C点的高度h小于(1)中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h。

1

解析：(1)小球从ABC轨道下滑，设到达C点时速度大小为v，则：mgH＝mv2。

2v2

要使小球能在竖直平面DEF内做圆周运动，在D点，有mg≤m，

r

联立以上两式并代入数据得：H≥0.2 m。

(2)若h＜H，小球过C点只能做平抛运动，设小球经C点时速度大小为vx，小球能击中E点，则有

11mgh＝mv x2，r＝vxt，r＝gt2，

22

由以上三式解得：h＝0.1 m。 答案：(1)H≥0.2 m (2)0.1 m

5.如图所示,半径为R,内径很小的光滑半圆管道竖直放置,质量为m的小球以某一速度进入管内,小球通过最高点P时,对管壁的压力为0.5mg.求: (1)小球从管口飞出时的速率.

(2)小球落地点到P点的水平距离.

6.如图10所示,半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置,两个质量均为m的小球A、B以不同的速度进入管内.A通过最高点C时,对管壁上部压力为3mg,B通过最高点C时,对管壁下部压力为0.75mg,求A、B两球落地点间的距离.

7.某校物理兴趣小组决定举行遥控塞车比赛。比赛路径如图所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，出B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟。已知赛车质量m＝0.1kg，通电后以额定功率ρ＝1.5W工作，进入竖直圆轨道前受到的阻值为0.3N，随后在运动中受到的阻力均可不计。图中L＝10.00m，R=0.32m，h＝1.25m,S＝1.50m。问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？（取g＝10 m/s2）

R A L B h C S 答案2.53s

【解析】本题考查平抛、圆周运动和功能关系。

设赛车越过壕沟需要的最小速度为v1，由平抛运动的规律 S?v1t

h?12gt 2解得 v1?SR?3m/s 2h设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v2，最低点的速度为v3，由牛顿第二定律及机械能守恒定律

2v2 mg?m

R

1212mv3?mv2?mg?2R? 22解得 v3?5gh?4m/s

通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是 vmin?4m/s 设电动机工作时间至少为t，根据功能原理 Pt?fL?由此可得 t=2.53s

12mvmin 2