当前位置：首页 > 第七章第2课时知能演练轻松闯关
1. (2012·绵阳调研)一个棱锥的三视图如图所示, 则这个棱锥的体积是( )
A. 6 C. 24
B. 12 D. 36
1
解析：选B.依题意可知, 该棱锥的体积等于×(3×4)×3＝12.
3
2. 一个几何体的三视图如图所示, 则 这个几何体的表面积为( )
A. 72 B. 66 C. 60 D. 30
解析：选A.根据题目所给的三视图可知该几何体为一个直三棱柱, 且底面是一直角三角形, 两直角边长度分别为3,4, 斜边长度为5, 直三棱柱的高为5, 所以表面积为3×4＋3×5＋4×5＋5×5＝72, 故选A.
3. 已知一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为( )
A. 24＋6π C. 28＋6π
B. 24＋4π D. 28＋4π
解析：选A.由题意知, 该几何体是一个半球与一个正四棱柱的组合
体, 并且正四棱柱的底面内接于半球的底面, 由三视图中的数据可知, 正四棱柱的底面边长
1
为2, 高为3, 故半球的底面半径为2.所以该几何体的表面积为S＝×4π×(2)2＋π×(2)2
2
＋4×2×3＝24＋6π.故选A.
4. (2011·高考上海卷)若圆锥的侧面积为2π, 底面面积为π, 则该圆锥的体积为________. 解析：设圆锥的底面圆半径为r, 高为h, 母线长为l, 则 πrl＝2π??
?πr＝π??
2
2
?r＝1
?∴? ??l＝2.
2
2
∴h＝l－r＝2－1＝3, 13∴圆锥的体积V＝π·12·3＝π.
33
2
答案：
3π 3
一、选择题
1. 圆柱的侧面展开图是一个边长为6π和4π的矩形, 则该圆柱的底面积是( ) A. 24π B. 36π
22
C. 36π或16π D. 9π或4π
解析：选D.由题意知圆柱的底面圆的周长为6π或4π, 故底面圆的半径为3或2, 所以底面圆的面积是9π或4π.
2. (2011·高考辽宁卷)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等, 体积为23, 它的三视图中的俯视图如图所示, 左视图是一个矩形, 则这个矩形的面积是( ) A. 4 C. 2
B. 23 D.3
33
x＝23, ∴x＝2.由题意知这个正三棱柱的左视图为4
2
2
解析：选B.设底面边长为x, 则V＝
长为2, 宽为3的矩形, 其面积为23.
3. (2011·高考湖南卷)如图是某几何体的三视图, 则该几何体的体积为( ) 9
A.π＋12 29
B.π＋18 2
C. 9π＋12 D. 36π＋18
解析：选B.由三视图可得几何体为长方体与球的组合体, 故体积为
439
V＝32×2＋π??3＝18＋π.
3?2?2
4. 过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面, 则此截面面积是球表面积的( ) 1A. 161C. 12
3 161D. 8B.
33232R(R为球的半径), 所以截面面积为π(R)＝πR, 224
解析：选B.由题意可得截面圆半径为
32
πR432
又球的表面积为4πR, 则＝, 故选B.
4πR216
5. 某四面体的三视图如图所示, 该四面体四个面的面积中最大的是( )
A. 8 C. 10
B. 62 D. 82
解析：选C.将三视图还原成几何体的直观图如图所示. 它的四个面的面积分别为8,6,10,62, 故最大的面积应为10. 二、填空题
6. (2012·洛阳质检)若一个圆锥的正视图(如图所示)是边长为3,3,2的三角形, 则该圆锥的侧面积为________.
解析：由正视图知该圆锥的底面半径r＝1, 母线长l＝3, ∴S圆锥侧＝πrl＝π×1×3＝3π. 答案：3π
7.如图, 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2, O为底面正方形ABCD的中心, 则三棱锥B1－BCO的体积为________.
111122解析：V＝S△BOC·B1B＝×BO·BC·sin45°·B1B＝×2×2××2＝. 3326232
答案：
3
32π
8. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切, 若这个球的体积是, 则这个
3三棱柱的体积是________.
432π
解析：由πR3＝, 得R＝2, ∴正三棱柱的高h＝4.
3313设这个三棱柱的底面边长为a, 则·a＝2, ∴a＝43,
32
13∴V＝·a·a·h＝483. 22答案：483 三、解答题
1
9. 已知圆台的母线长为4 cm, 母线与轴的夹角为30°, 上底面半径是下底面半径的, 求这
2
个圆台的侧面积.
解：如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面, 由题意知AC＝4 cm, ∠ASO＝30°, 1
O1C＝OA,
2
设O1C＝r, 则OA＝2r,
O1COA又＝＝sin30°, SCSA
∴SC＝2r, SA＝4r, ∴AC＝SA－SC＝2r＝4 cm, ∴r＝2 cm.
所以圆台的侧面积为S＝π(r＋2r)×4＝24π cm. 10. 如图, 已知某几何体的三视图如下(单位：cm).
2
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (2)求这个几何体的表面积及体积.
解：(1)这个几何体的直观图如图所示.
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的组合体. 由PA1＝PD1＝2,
A1D1＝AD＝2, 可得PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积
122
S＝5×2＋2×2×2＋2××(2)
2
＝22＋42(cm2),
1
体积V＝23＋×(2)2×2＝10(cm3).
2
11. (2012·广州调研)如图, 在直角梯形ABCD中, ∠ADC＝90°, CD∥AB, AB＝4, AD＝CD＝2, 将△ADC沿AC折起, 使平面ADC⊥平面ABC, 得到几何体D—ABC, 如图所示.
(1)求证：BC⊥平面ACD; (2)求几何体D—ABC的体积.
解：(1)证明：在图中, 可得AC＝BC＝22, 从而AC2＋BC2＝AB2, 故AC⊥BC,
取AC的中点O, 连接DO, 则DO⊥AC, 又平面ADC⊥平面ABC, 平面ADC∩平面ABC＝AC, DO?平面ADC, 从而DO⊥平面ABC, ∴DO⊥BC,
又AC⊥BC, AC∩DO＝O, ∴BC⊥平面ACD.
(2)由(1)可知BC为三棱锥B—ACD的高, BC＝22, S△ACD＝2, 1142∴VB—ACD＝S△ACD·BC＝×2×22＝,
33342由等体积性可知, 几何体D—ABC的体积为. 3
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