八年级上册数学同步培优：第4讲 全等辅助线(二)--尖子班

【方法总结】

本题主要考查全等三角形的判定、平移的性质，关键在于根据题意求证相关三角形全等． 对于第一问，根据题意推出△ABC≌△CDE，即可推出AC⊥CE； 对于第二问，主要是根据已知推出△ABC1≌△C2DE，即可推出结论．

【随堂练习】

1．（2016秋?罗平县期末）已知：如图1，点A是线段DE上一点，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE， （1）求证：DE=BD+CE．

（2）如果是如图2这个图形，我们能得到什么结论？并证明．

2．（2016秋?杭州期末）如图，∠BCA=90°，AC=BC，BE⊥CF于点E，AF⊥CF于点F，其中0°＜∠ACF＜45°． （1）求证：△BEC≌△CFA； （2）若AF=5，EF=8，求BE的长；

（3）连接AB，取AB的中点为Q，连接QE，QF，判断△QEF的形状，并说明理由．

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综合运用

1.在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为三角形ABC外一点，且?MDN?60?,?BDC?120?,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．

AAMBDNCMBDNC

图1 图2

（1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关

系是 ； （2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM?DN时，猜想⑴问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明.

2. 如图，等边三角形ABE与等边三角形AFC共点于A，连接BF、CE， 求证：BF=CE并求出?EOB的度数.

F

BEGAOC3. 如图，正五边形ABDEF与正五边形ACMHG共点于A，连接BG、CF，则线段BG、CF具有什么样的数量关系并求出∠GNC的度数．

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4. 如图，已知锐角△ABC中，以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结CE、BG，交点为O．

（1）求证：EC=BG且EC⊥BG．

（2）探究：△ABC与△AEG面积是否相等？并说明理由．

5. 如图①，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在同一直线上，连接BE，AD． （1）求证：BE=AD；

（2）如图②，点P为线段BE上一点，点F为线段AD上一点，AF=BP，连接AP，CP，PF，若PF⊥AD，求∠BPC的度数；

6. 如图1所示，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B点和C点在AE的异侧，BD⊥AE于D点，CE⊥AE与E点．

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（1）求证：BD=DE+CE

（2）若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置时（BD＜CE）其余条件不变，问BD 与DE，CE的关系如何？请予以证明．

（3）若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置时（BD＞CE）其余条件不变，问BD 与DE，CE的关系如何？直接写出结果，不需证明．

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