2020高考文科数学选考部分大题专项练习

选考部分大题专项练习

1．[2019·贵州质量测评]已知函数f(x)＝|x＋3|＋|x－1|. (1)?x∈R，f(x)≥5a－a恒成立，求实数a的取值范围； (2)求函数y＝f(x)的图象与直线y＝6围成的封闭图形的面积．

解析：(1)f(x)＝|x＋3|＋|x－1|≥|(x＋3)－(x－1)|＝4，∴f(x)min＝4. ?x∈R，f(x)≥5a－a恒成立，∴f(x)min≥5a－a，

2

2

2

∴4≥5a－a?a－5a＋4≥0，解得a≤1或a≥4，

2

2

∴实数a的取值范围是(－∞，1]∪[4，＋∞)． 2x＋2，x≥1，??

(2)f(x)＝|x＋3|＋|x－1|＝?4，－3

??－2x－2，x≤－3，

当f(x)＝6时，x＝－4或x＝2.

画出图象可得(图略)，围成的封闭图形为等腰梯形，且一条底边长为6，一条底边长为4，高为2，

1

∴封闭图形的面积S＝(6＋4)×2＝10.

2

2．[2019·河北衡水中学摸底]已知函数f(x)＝|2x＋1|＋2|x－3|. (1)求不等式f(x)≤7x的解集；

(2)若关于x的方程f(x)＝|m|存在实数解，求实数m的范围． 解析：(1)不等式f(x)≤7x，即|2x－6|＋|2x＋1|≤7x， 1??x<－，2可化为???－2x＋6－2x－1≤7x1??－≤x≤3，?2??－2x＋6＋2x＋1≤7x

或

?x>3，?

或???2x－6＋2x＋1≤7x，

得x≥1，即原不等式的解集为{x|x≥1}．

(2)∵f(x)＝|2x－6|＋|2x＋1|≥|(2x－6)－(2x＋1)|＝7，

∴关于x的方程f(x)＝|m|存在实数解，即|m|≥7有解，解得m≥7或m≤－7. ∴实数m的取值范围为{m|m≥7或m≤－7}． 3．[2019·福州四校高三年级联考]

(1)求不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集；

?2?a＋b2??

，?，证明：h≥2. (2)设a，b均为正数，h＝max?，abb???a?

1

2

2

3，x≤－2，??

解析：(1)记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝?－2x－1，

??－3，x≥1，

－2

11?11?由－2<－2x－1<0，解得－

22?22?

22

a2＋b224?a＋b?4×2ab3

(2)h≥，h≥，h≥，h≥≥＝8，当且仅当a＝b时取等号，

ababaabb2

∴h≥2.

4．[2019·河北省“五个一名校联盟”高三第二次考试]已知函数f(x)＝|2x－1|，

x∈R.

(1)解不等式f(x)<|x|＋1；

11

(2)若对x，y∈R，有|x－y－1|≤，|2y＋1|≤，求证：f(x)<1.

36解析：(1)∵f(x)<|x|＋1，∴|2x－1|<|x|＋1， 1??x≥，即?2??2x－1

1??0

2或???1－2x

??x≤0，

或?

?1－2x<－x＋1，?

11

得≤x<2或0

故不等式f(x)<|x|＋1的解集为{x|0

(2)f(x)＝|2x－1|＝|2(x－y－1)＋(2y＋1)|≤|2(x－y－1)|＋|2y＋1|＝2|x－y－1|115＋|2y＋1|≤2×＋＝<1.

366

5．[2019·皖南八校第二次联考]已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x＋4|. (1)解不等式f(x)≥－3x＋4；

11

(2)若函数f(x)的最小值为a，且m＋n＝a(m>0，n>0)，求＋的最小值．

mn－3x－2，x<－2，??

解析：(1)f(x)＝|x－2|＋|2x＋4|＝?x＋6，－2≤x≤2，

??3x＋2，x>2.当x<－2时，－3x－2≥－3x＋4，无解；

11

当－2≤x≤2时，由x＋6≥－3x＋4，得x≥－，可得－≤x≤2；

22

2

1

当x>2时，由3x＋2≥－3x＋4，得x≥，可得x>2.

3

?1???. xx≥－∴不等式的解集为

2??

－3x－2，x<－2，??

(2)根据函数f(x)＝?x＋6，－2≤x≤2，

??3x＋2，x>2，

可知当x＝－2时，函数f(x)取得最小值

f(－2)＝4，则a＝4.∴m＋n＝4，m>0，n>0，

nm?111?11?1?∴＋＝(m＋n)?＋?＝?1＋1＋＋?

mn?mn4?mn?4?

1

≥(2＋2)＝1. 4

nm11

当且仅当＝，即m＝n＝2时取“＝”．∴＋的最小值为1.

mnmn6．[2019·广州市普通高中毕业班综合测试(二)]已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|，不等式f(x)≤2的解集为M.

(1)求M；

(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＋|a－b|≤1. 解析：(1)f(x)≤2，即|2x＋1|＋|2x－1|≤2，

111

当x≤－时，得－(2x＋1)＋(1－2x)≤2，解得x≥－，故x＝－；

2221111

当－

2222111当x≥时，得(2x＋1)＋(2x－1)≤2，解得x≤，故x＝. 222

?11?

所以不等式f(x)≤2的解集M＝?x|－≤x≤?.

22??

111111

(2)解法一 当a，b∈M时，－≤a≤，－≤b≤，得|a|≤，|b|≤. 222222当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|≤1， 当(a＋b)(a－b)<0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|≤1， 所以|a＋b|＋|a－b|≤1.

111111

解法二 当a，b∈M时，－≤a≤，－≤b≤，得|a|≤，|b|≤.

222222

??4a，a≥b，

(|a＋b|＋|a－b|)＝2(a＋b)＋2|a－b|＝?222

??4b，a

2

2

2

2

2

2

2

2

3

112222

因为a≤，b≤，所以4a≤1,4b≤1.

44

故(|a＋b|＋|a－b|)≤1，所以|a＋b|＋|a－b|≤1.

2

4