2018届全国统一招生高考押题卷理科数学（一）试卷（含答案）

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学（一）（答案）

1.【答案】D

【解析】根据题意可得，z?a?i，所以z?a2?1?1，解得a?0，所以复数z?i． 2.【答案】D

【解析】A=??????0,??12＜sin?≤1?????????6???5??6?，?AIB???????4???1??．

3.【答案】C

【解析】分别设一对白色斑块的野生小鼠为A，a，另一对短鼻子野生小鼠为B，b，从2对野生小鼠中不放回地随机拿出2只，所求基本事件总数为4?3?12种，拿出的野生小鼠是同一表征的事件为?A,a?，

?a,A?，?B,b?，?b,B?，共计4种，

所以拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为1?4212?3．

4.【答案】A

【解析】将函数y?sin2x?3cos2x?2sin??????2x?3??的图象向右平移6个单位长度，可得

y?2sin??2???????x?????2sin2x的图象，所以??0．?6?3

?5.【答案】B

【解析】由题意可知，构成一个以首项为70缗，末项为31缗，项数为40层，公差为1的等差数列，则和为S=40??70+31?2=2020缗，这一堆铜钱的数量为2020?1000?2.02?106枚．

6.【答案】A

【解析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成，

V?1?1?2?12?π?12?2?2?π．

理科数学试卷 第9页（共20页）

7.【答案】C

【解析】当x??3时，y?3；当x??2时，y?0；当x??1时，y??1；当x?0时，y?0；当x?1时，y?3；当x?2时，y?8；当x?3时，y?15； 所以y的最大值为15，可知x≤3符合题意． 8.【答案】D

【解析】对于A，函数f?x??x2x，当x?0时，y?0，x?0时，y?0，不满足题意；对于B，当x?0时，f?x?递增，不满足题意；对于C，当x?0时，f?x??0，不满足题意；故选D． 9.【答案】C

x2y2【解析】双曲线C：a2?b2?1?a?0,b?0?的一条渐近线方程不妨设为：bx?ay?0，与抛物

?线方程联立，??bx?ay?0，消去y，得4ax2?bx?0，所以??x1?x2??b4a，所以所截得的弦长

?y?4x2??x1x2?0为??b2??b2?3bc32?1?a2??，化简可得??16a2???24a2?2，bc?23a，?c2?a2?c2?12a4，e4?e2?12?0，得e2?4或-3（舍），所以双曲线C的离心率e?2．

10.【答案】C

【解析】f?x???x2?2ax?ex，∴f??x???2x?2a?ex??x2?2ax?ex???x2?2?1?a?x?2a??ex，

由已知得，f??2??0，∴2?22?2a?22a?0，解得a?1．

∴f?x???x2?2x?ex，∴f??x???x2?2?ex，所以函数的极值点为?2，2，当x???2,2?错

误！未找到引用源。时，f?(x)?0，所以函数y?f?x?是减函数，当x????,?2?或x??2,???时，f??x?＞0，函数y?f?x?是增函数．又当x????,0?U?2,+??时，x2?2x?0，f?x?＞0，

当x??0,2?时，x2?2x?0，f?x??0，∴f?x?min在x??0,2?上，又当x??0,2?时，函数y?f?x?递减，当x??2,2?时，函数y?f?x?递增，∴f?x?min?f?2???2?22?e2．

11.【答案】A

理科数学试卷 第10页（共20页）

【解析】曲线C:x2?4x?y2?21?0可化为?x?2?2?y2?25，表示圆心在A?2,0?，半径为5的

圆，t?x2+y2?12x?12y?150?a?(x?6)2?(y?6)2?222?a，(x?6)2?(y?6)2可以看作点M到点N??6,6?的距离的平方，圆C上一点M到N的距离的最大值为AN?5，即点M是直线AN与圆C的离点N最远的交点，所以直线AN的方程为y??34?x?2?， ?联立??y??34?x?2?，解得?x1???6或??x2??2（舍去），当??x?6时，??x?2?2?y2?25?y1??3?y1?3?y??3t取得最大值，则

tmax?(6?6)2?(?3?6)2?222?a?b，所以a?b?3，所以?a?1??b?4，

11a?1?b?1?4?1?a?1?1?b?????a?1??b???1?ba?1?4??a?1?b?2??≥1， 当且仅当

ba?1?a?1b，??a?1时取等号． ?b?212.【答案】A

【解析】由函数g?x??f?x?5??x，所以g?x??5?f?x?5??x?5， 当x?5时，g?5??5?f?5?5??5?5?f?0?，

而函数y?f?x?为定义域R上的奇函数，所以f?0??0，所以g?5??5?0； 由g?a1??g?a2??L?g?a9??45，得??g?a1??5?????g?a2??5???L???g?a9??5???0， 由函数y?f?x?为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数， 可知y?g?x??5关于?5,0?对称，且在R上是单调递增函数， 由对称性猜想g?a5??5?0，下面用反证法说明g?a5??5?0， 假设g?a5??5?0，知a5?5，则a1?a9?10，a2?a8?10，

由对称性可知??g?a1??5?????g?a9??5???0，??g?a2??5?????g?a8??5???0，

， 则??g?a1??5?????g?a2??5???L???g?a9??5???0与题意不符，故g?a5??5?0不成立； 同理g?a5??5?0也不成立， 所以g?a5??5?0，所以a5?5，

根据等差数列性质，a1?a2?L?a9?9a5?45．

理科数学试卷 第11页（共20页）

13.【答案】?4

【解析】根据约束条件画出可行域，直线z??2x?y过点A?1,2?时，z取得最小值是?4．

14.答案】2 【解析】因为sin??????sin??2sin?cos?， 所以sin?cos??cos?sin??sin??2sin?cos?，

所以cos?sin??sin?cos??sin?，即sin??????sin?， 因为????π,π??，?????,????43??2?，所以??2?，

则

sin2?sin2?2sin?cos?sin(???)?sin??sin??2cos?，

因为????π?4,π?3?，所以2cos?sin2?????1,2??，所以sin(???)的最大值为2．

15.【答案】?1

【解析】建立如图所示的坐标系，以B为坐标原点， 则A?0,1?，B?0,0?，C?1,0?，D?1,1?，设P?x,y?，

则uPAur=??x,1?y?，uPBur=??x,?y?，uPCuur=?1?x,?y?，uPDuur??1?x,1?y?，

?uuPAr+uuPBr???uuPCur+uuPDur?=??2x,1?2y???2?1?x?,1?2y???1?2y?2?4?1?x?x

??1?2y?2??2x?1?2?1，

当x?12，y?1uuruuruuuruuur2时，?PA+PB???PC+PD?的最小值为?1．

理科数学试卷 第12页（共20页）

A D P B C x

16.【答案】2053? 【解析】由已知可知BC=BD=2，△BCD、△ABD的外接圆圆心分别为CD、BD的中点E、F，分别过E、F作△BCD、△ABD所在平面的垂线，垂线的交点O即为球心，由已知可知?AFE即为二面角A?BD?C的平面角，所以?AFE?5?6，又?OFA??2，所以?OFE??3，EF?1BC?1，所以OE?EF?tan?3?3，所以R?OC?OE2?CE22?5，

所以V?43?R3?2053?．

17.【答案】（1）32；（2）2． 【解析】（1）∵cos2A?sin2B?cos2C?sinAsinB， ∴1?sin2A?sin2B?1?sin2C?sinAsinB，······1分 ∴sin2A?sin2B?sin2C??sinAsinB，······2分 ∴a2?b2?c2??ab，······3分

∴cosC?a2?b2?c22ab??12，······4分 又0?C??，∴C?2?3，······5分 sinA?sinB?3sinC?3sin2?3?32．······6分 （2）当c?2时，a?b?3c?23，······7分

理科数学试卷 第13页（共20页）

2∴cosC?a2?b2?c22ab??a?b??2ab?c22ab?4ab?1，······8分

22∴sinC?1?cos2C?1???4?ab?1???????4??ab???8ab，······9分 2∴S?12absinC?12ab???4??ab???8ab?12?16?8ab，······10分 ∵a?b?23，

∴a?b?23≥2ab，即ab≤3，当且仅当a?b?3时等号成立，······11分

∴S?12?16?8ab≤12?16?8?3?2， ∴△ABC面积的最大值为2．······12分 18.【答案】（1）0.04；（2）

1419；（3）见解析． 【解析】（1）根据频率分布直方图可知，

m?1?5?0.03?0.07?0.05?0.01?5?0.04．·······2分

（2）产值小于500万元的企业个数为：

?0．03?0．04??5?40?14，·······3分 所以抽到产值小于500万元的企业不超过两个的概率为P?1?C326C3?14．·······6分

4019（3）Y的所有可能取值为?2，0，2．·······7分

P?Y??2??C2265C2?，·······8分 40121P?Y?0??C126C147C2?15，·······9分

40P?Y?2??C2147C2?60．·······10分

40∴Y的分布列为：

Y ?2 0 2 P 57712 15 60 期望为：E?Y???2?577312?0?15?2?60??5．·······12分

理科数学试卷 第14页（共20页）

19.【答案】（1）见解析；（2）最大值为437． 【解析】（1）取BD中点E，连接AE，CE， ∵AB?AD?BD?2，又E为BD中点， ∴AE?BD，·······1分 同理可得：CE?BD，·······2分 又AECE?E，∴BD?平面ACE，·······3分

又AC?平面ACE，∴BD?AC．·······4分 （2）∵AB?AD?BD?2，BC?DC?2，

∴△BCD为直角三角形，且AE?3，CE?1，

∴AE2?EC2?AC2，?AEC??2，即AE?EC，

又AE?BD，所以AE?平面BCD，·······5分 ∴以E为坐标原点，EC为x轴，ED为

y轴，EA为z轴建立如图直角坐标系．

∴B?0,?10,?，D?010,,?，C?10,,0?，A?0,0,3?， 设P?x0,y0,z0?，AP??AC?0≤?≤1?，AC??1，0，?3?，AP??x0,y0,z0?3?， ∴?x0,y0,z0?3????1，0，?3????，0，?3??， ?x0???x∴?0???y??0?0，即?y0?0，∴P??,0,3?3??，·······6分 ?z3??3??0??z0?3?3?BP=??,,13?3??，·····7分

DA??0，?1，3?，DC??1,?10,?， 设n??x1,y1,z1?是平面ACD的法向量，

?∴??n?DA?0????y1?3z1?0，令??xy3?n?DC?0??x?y1?1，得1?1，z1?11?03， ∴n???,,3??113??，·······9分 ?? 理科数学试卷 第15页（共20页）

∴sin??cos?n,BP??n?BPn?BP?27?6??2?1?3???127?2?2，···10

?3??23?分

由0≤?≤1，可知78≤2?2?3??2≤2，

∴

217≤sin?≤43437，∴sin?的最大值为7．·······12分 20.【答案】（1）x2y24?3?1；（2）?0,5?． 【解析】（1）因为PF1?PF2?4，所以2a?4，所以a?2，·····1分 因为e?12，所以c?1，·······2分 所以b2?a2?c2?4?1?3，·······3分

所以椭圆C的标准方程为x24?y23?1．·······4分 （2）由题意可知直线l的斜率存在，设l：y?k?x?4?，A?x1,y1?，B?x2,y2?，Q?x0,y0?，

?y?k?x?4?联立直线与椭圆??x2y2，消去y得?4k2?3?x2?32k2x?64k2?12?0，

??4?3?1x?x32k264k2?1212?4k2?3，x1x2?4k2?3，·······5分

又????32k2?2?4?4k2?3??64k2?12??0，解得：?112?k?2，·····6分

x1?x216k2x12k0?2?4k2?3，y0?k?x0?4???4k2?3，

所以Q??16k212k??4k2?3,?4k2?3?，·······7分

?所以l?：y?y112k1?16k2?0??k?x?x0?，即y?4k2?3??k??x?4k2?3?，

?化简得：y??14kx?k4k2?3，·······8分

理科数学试卷 第16页（共20页）