福建省2020届高三毕业班质量检查测试（B卷）数学（文）试题+Word版含答案

因为△PBC为等边三角形，PE?BC， ................................... 1分 因为BC?2AD， 所以AD?EC， 又因为AD//BC, 所以AECD为平行四边形，

因为?BCD?90?，所以AECD为矩形，

即AE?BC, ........................................................... 2分 因为PEIAE?E且AE,PE?平面PAE，所以BC?平面PAE，. .......... 3分 因为PA?平面PAE，所以PA?BC． .................................... 4分 （2）取PC，PB中点分别为M，N连接DM,MN,AN，因为M,N分别为PC,PB的中点，

所以MN为△PBC的中位线，所以MN//BC且MN?又因为AD//BC且AD?15分 BC， ...............

21BC，所以AD//MN且AD?MN,所以ANMD为平行四边形， 2所以DM//AN, ........................................................ 6分 又因为AN?平面PAB，DM?平面PAB，所以DM//平面PAB，

所以当M是棱PC中点时DM//平面PAB． ............................... 7分 由（1）知BC?平面PAE，因为BC?平面ABCD，所以平面PAE?平面ABCD， 作PO?AE于点O，因为平面PAEI平面ABCD?AE，所以PO?平面ABCD， ....................................................................... 8分 因为△PBC为等边三角形且BC?2，点E为BC的中点，所以PE?3，

222在△PAE中，因为PA?1,AE?CD?2,PE?3，所以AE?PA?PE，

所以PA?PE，所以PO?AE?PA?PE，即PO?3， 2所以M到平面ABCD的距离为d?3， ................................. 10分 4所以VB?MCD?VM?BCD?11133S?BCD?d???2?2??. ................ 12分 33246解法二：（1）同解法一................................................... 4分

- 9 -

（2）取PC中点为M，连接DM,ME,DE，因为M,E分别为PC,BC的中点，

所以ME为△PBC的中位线，所以ME//PB，又因为PB?平面PAB,ME?平面PAB， 所以ME//平面PAB, .................................................... 5分 因为AD//BC且AD?1BC，所以AD//BE且AD?BE,所以ABED为平行四边形，所2以DE//AB，又因为AB?平面PAB,DE?平面PAB，

所以DE//平面A'ED, ................................................... 6分 又因为MEIDE?E且ME,DE?平面MDE,

所以平面MDE//平面PAB，因为DM?平面MDE，DM//平面PAB，

所以当M是棱PC中点时DM//平面PAB ................................. 7分 因为AD//BC，又因为 BC?平面PBC,AD?平面PBC， 所以AD//平面PBC,

所以点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离， .................. 8分 因为?PBC为等边三角形且BC?2，点E为BC的中点，所以PE?3，

在△PAE中，因为PA?1,AE?2,PE?3，所以AE2?PA2?PE2，所以PA?PE， 由（1）知，PA?BC，且PEIBC?E，PE,BC?平面PBC， 所以PA?平面PBC， 因为PA?1，所以点A到平面PBC的距离为1，

即点D到平面PBC的距离为d?1， ...................................... 10分 所以VB?MCD?VD?BCM?20．(12分)

【解析】（1）设坐标原点为O，A?xA,yA?. 由题意得，S△PAB?2S△PAO?2?1113S?BCM?d???1?3?1?． ................ 12分 3326112OP?xA?，………………………………1分 256. 5又P?0,2?，且直线PA过E上的点M?2,0?，所以xA?又P,A,M三点共线，所以

4yA?22?0?64?，即yA?，故A?,?.…………3分 ?65?55??00?25 - 10 -

又直线PA过E上的点M?2,0?，所以a?2，………………………………4分

x2y2?64??2?1，将A?,?代入椭圆E，解得b?1， 即椭圆E:4b?55?x2?y2?1.………………………………………………5分 所以椭圆E的方程为4（2）易知直线l斜率必存在，设其方程为y?kx?2，

设H?x1,y1?，G?x2,y2?，则x1?0，y1??1，x2?0，y2??1，

?x22??y?1,联立?4得?4k2?1?x2?16kx?12?0，

??y?kx?2所以??256k2?484k2?1?64k2?48?0，解得k???23， 4x1?x2??16k12?3，，所以xx?xx??x1?x2?，……………………7分 1212224k?14k?14k因为C?0,1?，D?0,?1?， 所以直线CH方程为y?1?y?1y1?1?x，…………8分 ?x，直线DG方程为y?1?2x2x1y2?1x1?x2y1?1x2?y1?1??x1?y2?1?x2?kx1?1??x1?kx2?3??联立解得y? ?y2?1x1xy?1?xy?1xkx?3?xkx?1?2?1?1?2?2?1?1?2??1x2y1?11??2kx1x2??x2?3x1??3x1?x2?2k??3?x1?x2???x2?3x1?4k

3x1?x2?31?x1?x2???x2?3x1??3x1?x2?122??，……………………11分

3x1?x23x1?x221上.………………12分 2所以，四边形CDHG的两条对角线的交点在定直线y?22． (12分)

a1x2?ax?1【解析】（1）f?(x)??1?2??．…………………………………1分

xxx2考虑u(x)?x?ax?1， （a）当??0，即?2?a?2时，

- 11 -

2

u(x)?0，f?(x)?0，f(x)在(0,??)单调递减．…………………………2分

a?a2?4a?a2?4（b）当a?2时，u(x)?0有两个实根x1?，x2?，

22且0?x1?x2，

当0?x?x1或x?x2时，f?(x)?0，f(x)单调递减；

当x1?x?x2时，f?(x)?0，f(x)单调递增．………………………………3分 （c）当a??2时，u(x)?x?ax?1?0，

故当x?0时，u(x)?0，f?(x)?0，f(x)在(0,??)单调递减；…………4分

2a?a2?4)和综上所述，当a?2时，f(x)在(0,??)单调递减；当a?2时，f(x)在(0,2a?a2?4a?a2?4a?a2?4(,??)上单调递减，在(,)上单调递

222增. ……………………………………………………………………………………5分

1在(0,??)单调递减， x11所以当x?1时，有g(x)?g(1)?0，即lnx?(x?)，…………………………7分

2x1*取x?1?,k?N， …………………………………………………………………8分

k（2）在（1）中取a?2，可知g(x)?2lnx?x?得ln(1?11k?1k2k?1)?(?)?，…………………………………………9分 k2kk?12(k2?k)取k?1,2,L,n，相加，

31352n?1， ?L?ln(1?)???L?22n4122n?2n352n?1?L?2即ln(n?1)??，证毕．…………………………………………12分

4122n?2n得ln2?ln

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的

第一题计分。

22．[选修4?4：坐标系与参数方程] (10分)

【解析】解法一：（1）圆C1的方程化为极坐标方程为??4cos?，…………………1分

- 12 -