2018年全国高考新课标2卷理科数学试题（解析版）

2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．

1+2i

=( ) 1-2i

43B．- + i 55

34

C．- - i

55

34D．- + i 55

43A．- - i

55

解析：选D

22

2．已知集合A={(x,y)|x+y≤3,x∈Z,y∈Z }，则A中元素的个数为 ( ) A．9 B．8 C．5 D．4 解析：选A 问题为确定圆面内整点个数 e-e

3．函数f(x)= 2的图像大致为 ( )

x

x

-x

e-e

解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= >1,故选B

44．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)= ( ) A．4 B．3 C．2

2

解析：选B a·(2a-b)=2a-a·b=2+1=3

2

2

2

-2

D．0

xy

5．双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )

abA．y=±2x

2

B．y=±3x

2

C．y=±

2x 2

D．y=±

3x 2

解析：选A e=3 c=3a b=2a

C5

6．在ΔABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB= ( )

25A．42

B．30 C．29 D．25

32C222

解析：选A cosC=2cos -1= - AB=AC+BC-2AB·BC·cosC=32 AB=42

25

11111

7．为计算S=1- + - +……+ - ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入( )

23499100

开始N?0,T?0i?1是1ii?100否N?N?T?T?S?N?T输出S结束1i?1 A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4 解析：选B 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A．

1 12

B．

1

14

C．

1

15

D．

1 18

解析：选C 不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个其和为30的31

为7+23，11+19，13+17，共3种情形，所求概率为P=2=

C1015

9．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( ) 1552A． B． C． D． 5652解析：选C 建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。

10．若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数，则a的最大值是( ) A．

π 4

B．π 2

C．3π

4

D．π

解析：选A f(x)= 2cos(x+

πππ),依据f(x)=cosx与f(x)= 2cos(x+)的图象关系知a的最大值为。 444

11．已知f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数，满足f(1-x)= f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+

…+f(50)= ( )

A．-50 B．0 C．2 D．50

解析：选C 由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0; f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2

xy3

12．已知F1，F2是椭圆C: 2＋2＝1（a>b>0）的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直ab6

0

线上，ΔP F1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120，则C的离心率为( ) 2A． 3

1B． 2

1C． 3

1D．

4

2

2

解析：选D AP的方程为y=

3

(x+a),∵ΔP F1F2为等腰三角形 ∴|F2P|=| F1F2|=2c, 6

0

过P作PH⊥x轴，则∠PF2H=60, ∴|F2H|=c,|PH|=3c, ∴P(2c, 3c),代入AP方程得4c=a 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________． 解析：y=2x

??x+2y-5≥0

14．若x,y满足约束条件?x-2y+3≥0 ,则z=x+y的最大值为__________．

?x-5≤0 ?

解析：9

15．已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0，则sin(α+β)=__________． 1

解析：- 两式平方相加可得

2

7

16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若ΔSAB的面积

8为515，则该圆锥的侧面积为__________．

解析：设圆锥底面圆半径为r,依题SA=2r, 又SA，SB所成角的正弦值为

2

151152

,则×2r×=515 828

∴r=40, S=π×r×2r=402

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15． （1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值． 解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3 a1+3d=-15,由a1=-7得d=2. 所以{an}的通项公式为an=2n-9.

22

（2）由（1）得Sn=n-8n=(n-4)-16. 所以当n=4时, Sn取得最小值,最小值为?16. 18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年^

至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,17）建立模型①：y=-30.4+13.5t；根据2010年至2016^

年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,7）建立模型②：y=99+17.5t． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

^

y=-30.4+13.5×19=226.1 (亿元).

利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

^

y=99+17.5×9=256.5 (亿元).

（2）利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下：

^

（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016^

年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.

（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

19．（12分）

2

设抛物线C:y=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8． （1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 解：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y=k(x-1)(k>0).

??y=k(x-1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由?2

?y=4x?

得kx-(2k+4)x+k=0.

2222

2k+4

Δ=16k+16>0，故x1+x2=2. k

2

2

2k+4

所以|AB|= x1+x2+2=2+2=8 ，解得k=-1（舍去），k=1.

k

因此l的方程为y=x-1.

（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5. y0=-x0+5??2

设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则?2(y0-x0+1)

(x0+1)=+16?2?

2

2

2

2

2

??x0=3

解得?

??y0=2

??x0=11

或???y0=-6

因此所求圆的方程为(x-3)+(y-2)=16或(x-11)+(y+6)=144.

20．（12分）

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．