从《从一到无穷大》看概率论与统计在实际中的应用

浙江树人大学基础部

《数学文化》课 程 论 文

题目：从《从一到无穷大》看概率论与统计

在实际中的应用

课 程 名 称 数学文化 考 查 学 期 2012 学年 第 二 学期 考 查 方 式 课程论文 姓 名 XXXXXX 学 号 XXXXXXXXXX 专 业 XXXXXXXXXX 成 绩 指 导 教 师

1

从《从一到无穷大》看概率论与统计在实际中的应用

摘要：通过对《从一到无穷大》中的“无序定律”这一章节的整理，来分析概率论以及统计学与当今社会，尤其是科学方面的联系。并从多方面论证概率论与统计学的重要性，从而得出“概率论与统计学”与现实生活密不可分的结论。

关键词：无序定律 概率 统计学

从小就喜欢阅读科普书籍的我，在初二的时候如愿以偿获得了一本20世纪最为经典的科普书籍———《从一到无穷大》。这本由美籍俄裔科普作家乔治·伽莫夫撰写的名著从它定稿的那一刻起，就注定成为了20世纪科普作品中最为耀眼的一颗钻石。作者乔治·伽莫夫将俄国人的博大精深与美国人的幽默融合到一起，用妙趣横生的文笔配以几十余幅漫画式的插图，让读者们身临其境地在数字和科学的海洋当中遨游。这本书的内容可以说是十分引人入胜的，它幽默的描述与诙谐的对比、论证是其它科普著作所不及的。

全书共分为四个部分十一个章节。内容十分广泛，涵盖了从数学、相对论、天体物理到化学、生物的几乎所有入门知识。其中第三部分的第八章“无序定律”详细地阐述了概率在现实生活和科学领域的应用。下面本人就结合书本从多个方面来谈谈概率论与统计在当今社会，尤其是科学方面的广泛运用。

“无序定律”这一章节的开头首先提到了“热的无序”。 这也是这一章节的第一个大标题。既然提到了“热的无序”，那就不能不谈起“布朗运动”。 “布朗运动”是19世纪的英国生物学家布朗在研究植物花粉时首次发现的，因此被称为“布朗运动”。它的大致含义是：悬浮在流体中的微粒受到流体分子与粒子的碰撞而发生的不停息的随机运动。书中首先从热运动的效应入手，指出比人小得多的细菌热运动的效应要显著得多，同时引出了“布朗运动”这个概念。书中接着说明了布朗运动对科学（热力学）的贡献：通过对布朗运动与温度的关系进行研究，人们发现一旦温度达到理论上的最低温度，也就是 “绝对零度”时，一切分子的运动都会停止。当然，不同分子之间的内聚力强度不同，该分子所对应的物质熔解温度也就不同。氢在14K时就熔解了，而锇则要达到2700℃。以此类推，锇的沸点温度也非常高，居然能达到5300℃！本文到这里，或许有人会问了：这和概率论与统计有何关系？的确如此，第一个大标题所描写的内容只是一个引子，它为下一个大标题“如何描述无序运动”做出了铺垫。同时，从这一小节内容我们也可以看出学科与学科之间并不都是孤立的。俗话说得好，“数理不分家”。对于理工科而言，学科与学科之间的联系更是显得非常普遍。

该章节的第二个大标题是“如何描述无序运动”。书中运用统计学的观点从一个醉鬼所走的路径距离灯柱的长度出发，推导出了一个关于统计定律的公式。具体过程如下：醉汉离开灯柱的可能距离为R2?N?X2?Y2?①或者R?N?X2?Y2②；综合①②并且考虑到平均投影在两根轴上都是45°，得出X2?Y2③；而③就等于平均路程长度（还是由毕达哥拉斯定理证得）。用1来表示这个平均路程长度时，可得到R?1?N④。这个公式④不但适用于醉

2

鬼在灯柱四周的分布情况，同时也适用于溶质分子在水（溶液）中的扩散情况。由此可见统计学运用的广泛性。以染料分子在水中的扩散为例，一个分子每隔一万亿分之一秒就会发生一次碰撞。这样，每经过1秒钟，1个单个染料分子发生碰撞并转换方向的次数达上万亿次。它在1秒钟内走出的距离就是亿分之一英寸（平均自由程）乘以1万亿的平方根，即每秒钟走出1%英寸。按照这个扩散速度，要经过将近3个小时，颜色才会扩散到一英寸远的地方。书中接着给出了现实生活中的一个实例：正因为扩散速度如此得慢，所以往茶里放糖才需要不断地搅拌。其实，分子热运动（还有布朗运动）在生活中的运用举不胜举。其它的一个最典型的例子就是腌菜往往要半月才会变咸，而炒菜时加盐几分钟就变咸了，这是因为温度越高，盐的离子运动越快的缘故。此外，与统计学相关的分子热运动现象在其他许多领域也有重要应用，如对测量仪表测量精度限度的研究、对高倍放大的电讯电路中背景噪声的研究等等。在本小节的最后部分，作者还形象地举了一个宇宙当中的扩散运动的例子。这个例子大致上是说光量子从太阳中心到达太阳表面，需要与无数的原子和电子相撞，这样一来整个过程就需要大约5000年。与太阳表面的光只需8分钟抵达地球相比，这个过程实在是太漫长了！不看不知道，原来在天文学中也能找得到统计定律的影子。

结束了第二个大标题，接下来的第三小节是本章的重中之重。比起统计学，概率论的应用也是十分广泛的。第三个大标题是“计算概率”，文中首先从一个喜闻乐见的大众游戏———掷硬币出发，深入浅出地介绍了计算概率的各种方法。然后作者又将计算概率的各种方法运用到扑克牌游戏当中，从而引申出了概率论与统计学的一个新的应用———“赌博游戏中的概率统计学”。作者的这段生动形象的话真可谓是画龙点睛：通过这种计算可以看出，扑克牌中一副牌的好坏级别正是与它的数学概率值相对应的。这究竟是由过去某个数学家所安排的呢，还是靠聚集在全世界的各个豪华或破烂赌窟里的数以百万计的赌棍们拿钱财冒险而从经验中得出来的？我们不得而知。如果是源于后者的话，我们可得承认，对于研究复杂事件的相对概率来说，这确是一份非常突出的统计材料！事实的确如此，实践出科学，我们今天所学的各种概率公式最早正是源于实践。而当我们掌握了这些规律之后，又反过头去作用于实践。赌博，正是这个源于生活且历史悠久的游戏实践活动完善了今天如此繁杂而又有规律可循的概率知识体系。接下来的一个话题是十分有趣且值得探讨的，那就是著名的“生日重合问题”。书中的大致描述是：假设某人有24个朋友，一般人都会普遍认为在同一天接到两份生日请柬的概率是非常小的。然而事实却并非如此，24个人当中，有两个人、甚至几组两个人的生日相重合的概率是相当高的，实际上要比不出现重合的概率还要大。具体计算过程如下：364363362342。把这些分数相乘，求出的结果就是所有这些人的生日???…?365365365365都不重合的概率。大概为0.46，稍小于一半。也就是说在这24个朋友中生日重合的可能性要稍大于生日不重合的可能性。对于这个大跌眼镜的结果甚至许多科学家都不愿承认，不少科学家下了从2对1到15对1的赌注与伽莫夫打赌说不会发生这种可能性。最后作者开玩笑说如果哪位老兄跟他们都打了赌，他可会发起来的！接着作者又从生日重合问题引出了一个关于概率论的实际应用案例———密码的破译。文中例举了一个17世纪基德船长的藏宝地点的手稿的事例，通

3

过26个英文字母在所有文章当中出现的频率来破译手稿中的字符。成功破译之后，破译者勒格让先生发现由于手稿中字符数量太少，它们与概率定律所规定的字母不甚相符，但各个字母却有按概率论的要求排列的趋势（比如字母“E”在文中出现的次数就为第一位）。毫无疑问，一旦字母达到很大的数目，这个趋势就会变成确凿的事实。现如今，概率论在密码学中的应用已经变得越来越普遍了。以随机过程在密码学中的应用为例：随机过程的概念很广泛，因而随机过程的研究几乎包括概率论的全部。虽然不能给出一个有用而又狭窄的定义，但是概率论工作者在使用随机过程这个术语时，通常想到的是其随机变量具有某种有意义的相互关系的随机过程，例如，独立性就是这样一种关系。在提出随机过程这个术语之前，独立变量序列就是研究了很长时间的一类随机过程。随机过程在密码学的领域都得到了非常广泛的应用，虽然很多应用都不是直接由随机过程得出，却是间接由随机过程推导出来。如混沌理论、马尔可夫密码、用于分析加密技术、基于神经网络密码的图像加密等等。聊完了概率论在密码学中的应用，下面再来谈谈概率论对于“π”的发现的贡献。前面已经提到，一旦实验次数变得非常庞大，那么概率论就成了事实，这的确如此。因为这个事例就是用大量实验来检验概率论的，这就是著名的“星条旗与火柴的题目”。题目的大致内容是：把一面美国国旗铺在桌子面上，扔出一根火柴，让它落在旗子上。它可能完全落在一条带子里，也可能压在两条带子上。要求出这两种情况发生的机会，最后求得火柴2与边界相交的概率为。π在这个最料想不到的场合跳了出来，这件有趣的事是π18世纪的科学家布丰最先注意到的，因此，这个题目也叫做布丰问题。 本章第四小节的内容主要是介绍概率论与热力学定律的联系。这一小节例举了生活中十分平常而又令人意想不到的例子来说明概率论与统计学在热力学中的应用。第一个例子就出乎绝大多数人的预料：当一个人坐在房间里看书时，四堵墙内、天花板下、地板之上的整个空间里均匀地充满着空气。此人从未遇到过这些空气突然自行聚拢在某一个角落，使其窒息在椅子上的意外情况。接着最为关键的一点来了，书中指出这种恐怖的情况并非不可能，而是极不可能发生而已。论证这条依据的起点还是掷硬币，由于一间标准房内大约有1027个气体分子，它们同时聚集在某一边的概率就相当于1027个硬币抛掷后为同一面的概率，即

?1????2?1027?10?3?10。说得通俗一些，也就是说此人要等上10299999999999999999999999998秒才

26会发生这种情况。这个超级天文数字证明了这个人是绝对安全的，因为宇宙的年龄迄今为止也只有1017秒。同理可验证第二个例子，第二个例子说的是一杯水中的上半杯水会以子弹般的速度飞向天花板，或者说一杯水的上半部分猛烈地沸腾，而下半部分却结了冰。当然一杯水中的上述两种情况也并非是完全不可能发生，用第一个案例的方法推导，它们发生的可能性都几乎为零，但都是有可能的！那为什么两个案子中的情况发生的概率都如此之小？原因就在于著名的熵定律，也就是中学生都所熟知的热力学第二定律。一个物理系统中任何自发的变化，都朝着使熵增加的方向发展，而最后的平衡状态，则对应于熵的最大可能值。一间屋子内的气体分子之所以会均匀分布，或者说一杯水之所以会保持温度及状态的

4