一元二次函数专题精讲

一元二次方程

1． 一元二次方程

在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：ax^+bx+c=0时，应满足（a≠0）

2. 降次——解一元二次方程

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法： 1、直接开平方法：

用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=± m. 直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果. 2、配方法

通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。

1.转化： 将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式） 2.系数化1： 将二次项系数化为1 3.移项： 将常数项移到等号右侧

4.配方： 等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.变形： 将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.开方： 左右同时开平方 7.求解： 整理即可得到原方程的根 3、公式法

公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

3. 实际问题与一元二次方程

列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展

从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．

【能力训练】 一、选择题

1、关于的一元二次方程（ ）

的一个根是0，则的值为

A、 B、 C、或 D、

2、关于的方程的根的情况是（ ）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根

C、无实数根 D、不能确定

3、如果关于的方程（ ）

的两个实数根互为倒数，那么的值为

A、 B、 C、 D、

4、已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）

A、 B、 C、 D、

5、市政府为了申办2010年冬奥会决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均绿地面积的增长率是（ ）

A、19% B、20% C、21% D、22%

6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）

的两个

A、 B、3 C、6 D、9

7、如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程

的一个根，那么的值是（ ）

A、1或2 B、0或 C、或 D、0或3

8、若一元二次方程的两根、满足下列关系：，

，则这个一元二次方程为（ ）

A、 B、

C、 二、填空题

D、

9、写出一个一元二次方程使它的二次项系数、一次项系数、常数项系数的和为零，该方程可以是_____________。

10、写出一个一元二次方程，使它没有实数解，该方程可以是_________。 11、写出一个一元二次方程，使它的两实数根之和为3，该方程可以是_____________。

12、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是__________。 三、解下列方程

13、

四、解答题

14、

15、制造一种产品，原来每件的成本是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使第二个月的销售利润达到原来的水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？

16、如图所示，四边形是矩形，，。动点P、Q

分别同时从A、C出发，点P以3cm/s的速度向D移动，直到D为止，Q以2cm/s的速度向B移动。

⑴P、Q两点从出发开始几秒后，四边形ABQP的面积是矩形面积的？何时四边形ABQP的面积最大，最大是多少？

⑵P、Q从开始出发几秒后，？

17、已知实数根，问

、是关于的一元二次方程与

能否同号？若能同号，请求出相应的

的两个非零

的值的范围；若不能

同号，请说明理由。

18、如图，有矩形地ABCD一块，要在中央修建一矩形花圃EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽？