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2011年高考数学专题讲解————圆锥曲线 8_one整理
y2?4x
22y12y2y12y2?y12,y1),S(,y2) ∴QR?(,y1),RS?(,y2?y1) （Ⅲ）Q（0，0），设R(44442y12(y2?y12)?y1(y2?y1)?0 ∵QR?RS?0 ∴
1616∵∴∴y1?y2,y1?0，化简得 y2??(y1?)
y12562y2?y12?2?32?2256?32?64
y125622当且仅当 y1?2,y1?16,y1??4时等号成立
y12y21222∵|QS|?()2?y2?(y2?8)2?64，又?y2?64
442∴当y2?64,y2??8时，|QS|min?85，故|QS|的取值范围是[85,??)
26.解（1）设直线l与椭圆相交于P(my1?c,y1)，Q(my2?c,y2)，因为A(a,0)； 故AP?(my1?c?a,y1)，AQ?(my2?c?a,y2)，由AP?AQ? (m?1)y1y2?(a?c)(y1?y2)?(a?c)?22/????1(a?c)2得： 21(a?c)2 ①； 2x2y2 将x?my?c代入2?2?1得：(a2?b2m2)y2?2b2cmy?b4?0；
ab?2b2cmy1?y2?2?22a2?2(a?c)2?a?bm2 由题意得：?代入①中，并化简得：m? 24bb?yy??12?a2?b2m2?因此，a?2(a?c)?0，?222c2；即椭圆的离心率的最小值为1?； ?1?2a2a2?2(a?c)2a2?2(a?c)2?1?4e?2e22?（2）由m?得：m?；
b2a2?c21?e22?2?16(4e?3)?2?7?6(4e?3)?(4e?3)2167?(4e?3)?64e?3M ；由于m是e的单调增函数，
因为e?(,)，故m?(,)，
2l P F1 y 122322735O N 37
A x Q
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所以m的取值范围：
(?356635,?)?(,) 5335y1a2（3）AP的方程为y?(x?a)；因为x??；
cmy1?c?a故yMy1y2a2a2?(??a)，同理：yN?(??a)； my1?c?acmy2?c?acy1y2a2所以yMyN?(? ?a)222cmy1y2?(a?c)m(y1?y2)?(a?c)b4 ??2（为定值）
c1?cb1?1?,y???x??， 22b?2??1?cb2?c?1?cb2?c2?,0b?bc?b?c＞0即?于是圆心坐标为?=＞，即 m?n?2?2b22b??22?1?b??b?c?＞0所以b＞c ， 于是b2＞c 即a2＞2c ，所以e2＜1 即 0＜e＜
22 2（2）假设相切， 则kAB?kPB??1，
27.解（1）由题意FC,BC的中垂线方程分别为x?b2?cb?b2?cbb2?c2b?kPB??,kAB??b,?kPB?kAB???11?cb(c?1)ac?10?22?1?c?c?1?c,即c2?2c,?c?0,?c?2这与0＜c＜1矛盾. 故直线AB不能与圆P相切.
2y12y2,y1),P(,y2),?P、M、A三点共线， 28.解：（I）设点M(44，
?kAM?kDM,即y1y12?14?y1?y2y11, 即?,?y1y2?4 222y1y2y1?4y1?y2?44
2y12y2?OM?OP???y1y2?5.
44
(II)设∠POM=α，则|OM|?|OP|?cos??5.
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?S?ROM?5,?|OM|?|OP|?sin??5.由此可得tanα=1. 2又??(0,?),???45?,故向量OM与OP的夹角为45?.
2y3,y3),?M、B、Q三点共线，?kBQ?kQM, (Ⅲ)设点Q(4
y1?y3y3?11,即?,222y3y12y3y3?4y1?y3?1? 4442?(y3?1)(y1?y3)?y3?4,即y1y3?y1?y3?4?0.????11分即??y1y2?4,即y1?444,??y3??y3?4?0,y2y2y2
即
y3
4(y2?y3)?y2y3?4?0.(*)
?kPQ2y2?y3y244?2?, ?直线PQ的方程是y?y2?(x?) 2y2?y3y2?y34y2y3?44 29.
2即(y?y2)(y2?y3)?4x?y2,即y(y2?y3)?y2y3?4x.
由（*）式，?y2y3?4(y2?y3)?4,代入上式，得(y?4)(y2?y3)?4(x?1). 由此可知直线PQ过定点E（1，－4）. 解
析
：
设
p?x,y?，由
x2y2??142得
?x2?y?2?1??4??2故
PM2??x?m?2?x2??x2?12?2?1???2?1????x?2m??2?m2由于0?m?24??4?2?2且?2?x?2故当0?2m?2时，PM2的最小值为2?m?1此时m?1，当
2?2m?4时，x?2取得最小值为2?4m?m2?2?1解得m?1,3不合题意舍去。
综上所知当m?1是满足题意此时M的坐标为（1，0）。
????????????????????（2）由题意知条件OA?OB?AB等价于OA?OB?0，当l的斜率不存在时，l与C的?????????6?交点为?1,?，此时OA?OB?0，设l的方程为y?k?x?1?，代入椭圆方程整理得???2??????????2222由于点M在椭圆内部故??0恒成立，由OA?OB?0?1?2k?x?4kx?2k?4?0，
39
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知
x1x2?y1y2?0即
，
?1?k?xx212?k2?1?x2??k2?0，据韦达定理得
代
入
上
式
得
4k2x1?x2?1?2k22k2?4x1x2?1?2k24?k2??1?k??22k?2?2??4k2得k2??2k2?0?k?41不合题意。综上知这样的直线
不存在。
30.解：依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y?k(x?1)， 将y?k(x?1)代入x2?3y2?5， 消去y整理得 (3k2?1)x2?6k2x?3k2?5?0.
???36k4?4(3k2?1)(3k2?5)?0， (1) ? B(x2，y2)， 则?设A(x1，y1)， 6k2?x1?x2??2. (2)3k?1?1x1?x23k213??2??，解得k??由线段AB中点的横坐标是?，得，适合(1).
223k?1231142(2m?)(3k?1)?2m?????????(6m?1)k2?5233?m2MA?MB??m?3k2?13k2?116m?14?m2?2m??.
33(3k2?1)
????????47注意到MA?MB是与k无关的常数，从而有6m?14?0，m??， 此时MA?MB?.
39综上，在x轴上存在定点M??，0?，使MA?MB为常数.
?7??3? 40
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