某高校在校生体测成绩的统计分析

天津科技大学2014届本科生毕业论文

对x,y作n次独立的观测，得到观测数据(xi,yi), i?1,2,?,n.根据(2-8)式可得

??yi?a?bxi??i , ?iid2???i~N(0,?) , i?1,2,?,n .其中iid表示独立同分布。令

Q(a,b)??????yi?(a?bxi)?,

2inn2i?1i?1?称为a,b的最小二乘估计，通过解下面方程组?,b二元函数Q?a,b?的最小值点a??求得

n??Q?na?nxb?ny ,??a??2??yi??a?bxi???0??i?1n (2-9) ??n2???n??Q??2?y??a?bx??x?0?nxa???xi?b??xiyi .?i?1?i?1?iii??i?1??b其中

1n1nx??xi , y??yi .

ni?1ni?1当方程组(2-9)的系数矩阵的行列式

nnxnn22nD??n(?xi?nx)?n?(xi?x)2?0, 2nx?xii?1i?1i?1可以解得

?, b??ll . (2-10) ??y?bxaxyxx其中

lxx??(xi?x)??x?nx, lxy??(xi?x)(yi?y)??xiyi?nx y .

22i2i?1i?1i?1i?1nnnn?代入理论回归方程可得y?，称之为y关于x的经验回归方程。由于 ?,b??a??bx将a??y?bx??bx??y?b?(x?x) , ??a??bxy?服从以下分?,b可知y关于x的经验回归直线一定过点(x,y). 可以证明估计量a布：

??1x2?2???2???~N?a, ?????, b~N?b, a ? . （2-11）??nllxx?xx??????分别是a,b的无偏估计。 ?,b从而可知a（3） 回归方程的显著性检验

对于变量y和x的任意n对观测值(xi,yi)，只要x1,x2,?,xn不全相等，则无论变量y和x之间是否存在线性相关关系，都可根据上面介绍的方法求得一个线

?. 显然，只有当变量y和x之间存在线性相关关系时，这样??a??bx性回归方程y的线性回归方程才是有意义的。为了使求得的线性回归方程真正有意义，就需要

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检验变量y和x之间是否存在显著的线性相关关系。若y和x之间存在显著的线性相关关系，则回归模型(2-8)式中的b不应为0，因为若b?0，则?(x)?E(y|x)就不依赖于x了。因此需要检验假设

H0:b?0, H1:b?0. (2-12)

F检验

y(xi,yi)y?yy{}??}y?yii???a??bxy?i?yyox图 2-1离差分解示意图

x

如图2-1所示，每个观测点(xi,yi)处的yi与均值y的离差yi?y被分解为两部分，即

?i?y?i?y , yi?y?yi?y于是总离差平方和可作如下分解

?i?y?i?y)2 SST??(yi?y)??(yi?y2i?1i?1nn?i)??(y?i?y)?2?(yi?y?i)(y?i?y) . ??(yi?y22i?1i?1i?1nnn?i)(y?i?y)?0. 令 可以证明2?(yi?yi?1n?i), SSR??(y?i?y)2 , SSE??(yi?y2i?1i?1nn则有

SST?SSE?SSR . （2-13）

?i的离差平这里的SST为总离差平方和，它被分解为两部分。其中SSR是估计值y方和，反映了y的总变差中由于y与x之间的线性关系所引起的y的变差，称为回归平方和。SSE就是前文中的QE，称为残差平方和（或剩余平方和），它反映了y的总变差中不能由回归直线来解释的变差。由图2-6可以看出，若总离差平方和SST中主要是回归平方和SSR，残差平方和SSE所占比重非常小，则说明观测数据的散点基本集中在回归直线附近，进一步说明y和x之间存在显著的线性相关关系，因此可以根据SSR和SSE构造检验统计量，检验y和x之间的线性相关关系是否显著。

（4）多重线性回归分析原理

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设随机变量y与p个可控变量x1,x2,?,xp之间存在线性相关关系，建立y与

x1,x2,?,xp的数学模型如下：

?y?b0?b1x1?b2x2???bpxp?? , (2-14) ?2?~N(0,?) .?其中未知参数b0,b1,?,bp和?2都不依赖于x1,x2,?,xp. 称(2-14)式为y关于

x1,x2,?,xp的p重线性回归模型，其中b1,b2,?,bp称为回归系数。类似于一元线性回归，称Y?E(y|x1,?,xp)?b0?b1x1?b2x2???bpxp为y关于x1,?,xp的理论回归方程。 2.4 判别分析

判别分析是对样本进行分类，但是和聚类分析不一样，判别分析的研究对象是已经有了分类，，根据抽取的样本建立判别公式和判别标准，然后用这些公式和标准判别未知的类别的样本的类别。

本文主要用距离判别，其中距离判别的基本思想是首先根据已知分类的数据，分别计算各类的重心，即分组均值，判别标准：对于任给一次观测值，若她与i类的重心距离最近，就认为她来自第i类。马氏距离原理设G是p维总体，它的分布的均值向量和协方差矩阵分别为

??11?12...?1p???1????????...?2?21222p? （2-15） ???,?????????????????p???p1?p2...?pp?设x??x1,x2,...,xp?',y??y1,y2,...,yp?'为取自总体G的两个样品，假定??0（?为正定矩阵），定义x,y间的平方马氏距离为

d2?x,y???x?y?'??1(x?y)

定义x到总体G的平方马氏距离为

d2?x,G???x???'??1(x??) （2-16）

两个总体的判别，设有两个p维总体G1和G2,分布的均值分别为?1和?2，协方差矩阵分别为?1?0，?2?0。从两总体中分别抽取容量为n1，n2的样本，记为

x11,x12,...,x1n1,x21,x22,...,x2n2。现有一未知类别的样品，记为x，试试判别x的归属，现有以下判别规则

当d2(x,G1)?d2(x,G2)时，判定x?G1；否则判定x?G2。若相等则待判。这是通常为马氏距离。在采用马氏距离的情况下，下面分情况进行讨论。

（1）?1=?2=?已知时

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将两个距离相减可得

d2(x,G1)?d2(x,G2)?2[x?(?1??2)]'??1??1??2? （2-17） 2令

?=?1??22W(x)?(x??)'a?a'(x??)，a???1??1??2??(a1,a2,...,ap)' （2-18）

则判别规则还可表示为

?x?G1,若W(x)?0? ?x?G2,若W(x)?0 （2-19）

?待判，若W(x)=0?称W(x)为两组距离判别的线性判别函数，a为判别系数。

（2）?1??2已知时 令

J(x)?d2(x,G1)?d2(x,G2) （2-20） 则J?x?为二次判别函数，判别规则为

?x?G1,若J(x)?0??x?G2,若J(x)?0 (2-21) ?待判，若J(x)=0?（3）?1??2未知时

在实际问题中，这种情况最为常见，此时有样本对?1，，?2?1，?2进行估计

?1=x1,?2=x2,?1?s1,?2?s2

于是可得平方马氏距离的估计和二次判别函数的估计

d2?x,Gi???x?xi?'Si?1?x?xi?,i?1,2J?x??d2?x,G1??d?x,G2?

2 （2-22）

将格式（2-21）中的J?x?换位J?x?,即可得此种情况的判别规则。

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