（完整）高考数学二轮复习名师知识点总结：数列求和及数列的综合应用，推荐文档

错位相减法求数列的前n项和是一类重要方法．在应用这种方法

时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题．

设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 解 (1)由已知，得当n≥1时，

an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1. 而a1＝2，符合上式，

所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1. (2)由bn＝nan＝n·22n－1知 Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1.

①

②

－

从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.

①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，

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1

即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．

9考点三 裂项相消求和法

例3 (2013·广东)设各

*,

项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a2n＋1－4n－1，n∈N且a2，a5，a14构成等比数列．

(1)证明：a2＝4a1＋5； (2)求数列{an}的通项公式；

1111(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.

a1a2a2a3anan＋12

2(1)证明 当n＝1时，4a1＝a22－5，a2＝4a1＋5，又an>0，∴a2＝4a1＋5.

(2)解 当n≥2时，4Sn－1＝a2n－4(n－1)－1，

2222∴4an＝4Sn－4Sn－1＝a2n＋1－an－4，即an＋1＝an＋4an＋4＝(an＋2)，又an>0，∴an＋1＝an＋2，

∴当n≥2时，{an}是公差为2的等差数列．

又a2，a5，a14成等比数列．∴a2a14，即(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3. 5＝a2·

由(1)知a1＝1.又a2－a1＝3－1＝2，∴数列{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列．∴an＝2n－1. (3)证明

1111111

＋＋…＋＝＋＋＋…＋ a1a2a2a31×33×55×7anan＋1?2n－1??2n＋1?

1??1??11??1－1??1?1－1?1

＝??1－3?＋?3－5?＋…＋?2n－12n＋1??＝?2n＋1?<. 2????2??2

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数列求和的方法：(1)一般地，数列求和应从通项入手，若无通项，

就先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备适用某种特殊方法的形式，从而选择合适的方法求和得解．(2)已知数列前n项和Sn或者前n项和Sn与通项公式an的关系式，求通项通常利用an＝

??S1?n＝1?

.已知数列递推式求通项，主要掌握“先猜后证法”“化归法”“累加(乘)法”等． ?

?Sn－Sn－1?n≥2??

(2013·西安模拟)已知x，

f?x?

，3(x≥0)成等差数列．又数列2

{an}(an>0)中，a1＝3，此数列的前n项和为Sn，对于所有大于1的正整数n都有Sn＝f(Sn－1)． (1)求数列{an}的第n＋1项；

11

(2)若bn是，的等比中项，且Tn为{bn}的前n项和，求Tn.

an＋1an解 (1)因为x，所以2×f?x?

，3(x≥0)成等差数列， 2

Sn－1＋3)2，

f?x?

＝x＋3，整理，得f(x)＝(x＋3)2. 因为Sn＝f(Sn－1)(n≥2)，所以Sn＝(2

Sn－1＋3，即Sn－

Sn－1＝3， 所以{Sn}是以3为公差的等差数列．

所以Sn＝

因为a1＝3，所以S1＝a1＝3，所以Sn＝S1＋(n－1)3＝3＋3n－3＝3n.

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所以Sn＝3n2(n∈N*)． 所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝3(n＋1)2－3n2＝6n＋3. (2)因为bn是

1

111与的等比中项， 所以(bn)2＝·， an＋1anan＋1an1

111?1－1?

所以bn＝·＝＝×??，

an＋1an3?2n＋1?×3?2n－1?18?2n－12n＋1?

1??1??11??1－1??1?1－1?n

Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝??1－3?＋?3－5?＋…＋?＝?＝. ???18??2n－12n＋1??18?2n＋1?18n＋9考点四 数列的实际应用

例4 (2012·湖南)某公

司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元． (1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；

(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．

(1)由第n年和第(n＋1)年的资金变化情况得出an与an＋1的递推关

系；

(2)由an＋1与an之间的关系，可求通项公式，问题便可求解．

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