2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质学业分层测评苏教版选修2-1

x2y23

1．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线lab3

交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为________．

【解析】 根据题意，因为△AF1B的周长为43，所以AF1＋AB＋BF1＝AF1＋AF2＋BF1＋

c3

BF2＝4a＝43，所以a＝3.又因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1

a3

＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.

32

【答案】

x2y2

x2y2

3

＋＝1 2

2

2

2．若A为椭圆x＋4y＝4的右顶点，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积为________. 【导学号：09390029】

【解析】 由题意得，该三角形的两直角边关于x轴对称，且其中一边在过点A(2,0)，斜率为1的直线上，且此直线的方程为y＝x－2，代入x＋4y＝4，得5x－16x＋12＝0，解66418?6?16

得x1＝2，x2＝.把x＝代入椭圆方程，得y＝±，∴三角形的面积S＝××?2－?＝.

55525?5?25

【答案】

16

25

2

2

2

x2y2

3．过椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，

ab11

且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若

32

11?b?【解析】 因为

2

b2b2

－0－0a1a1

点A的坐标为(－a，0)，所以k＝，所以<<.

c＋a3c＋a2

b2

－0ab2a2－c2a－c111222

又因为b＝a－c，所以＝＝＝1－e，所以<1－e<，解得2＝2

c＋aac＋aa＋aca322

2?12?

3?23?

?12?【答案】 ?，?

?23?

x2y2

4．(2016·绍兴高二检测)如图2-2-5，F1，F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、

ab右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.

图2-2-5

(1)求椭圆C的离心率；

(2)已知△AF1B的面积为403，求a，b的值．

【解】 (1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c， 1

所以e＝ .

2

(2)法一：a＝4c，b＝3c，直线AB的方程为y＝－3(x－c)， 33??8222

将其代入椭圆方程3x＋4y＝12c，得B?c，－c?，

5??5

2

2

2

2

?8?16

所以|AB|＝1＋3·?c－0?＝c.

?5?5

11163232

由S△AF1B＝|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝a·c·＝a＝403，

22525解得a＝10，b＝53.

法二：设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a. 由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t， 8222

再由余弦定理(3a－t)＝a＋t－2atcos 60°，可得t＝a.

5183232

由S△AF1B＝a·a·＝a＝403知，a＝10，b＝53.

2525