2016-2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质学业分层测评苏教版选修2-1

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程

2.2.2 椭圆的几何性质学业分层测评 苏教版选修2-1

(建议用时：45分钟)

学业达标]

一、填空题

y2

1．若椭圆＋＝1(0＜a＜36)的焦距为4，则a＝________.

36a【解析】 ∵0＜a＜36，∴36－a＝2，∴a＝32. 【答案】 32

2．椭圆25x＋9y＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是________． 【解析】 方程可化为＋＝1，易知a＝5，b＝3，c＝4，

2594

∴长轴长为10，短轴长为6，离心率为.

54

【答案】 10,6，

5

2

2

2

x2

y2x2

x2y2x2y2x2y2

3．已知椭圆2＋2＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆2＋2＝1的短轴长与椭圆

ab2516ab＋＝1的短轴长相等，则a＝________，b＝________.

219

【解析】 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴

2516219长为6，所以a＝25，b＝9.

【答案】 25 9

4．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．

【解析】 由题意得2a＝12，＝故椭圆方程为＋＝1.

369【答案】

＋＝1 369

3

，且G上一点到G的两2

2

2

y2x2

22

x2y2y2x2

ca3

，所以a＝6，c＝33，b＝3. 2

x2y2

x2y2

x2y21

5．椭圆＋＝1的离心率为，则实数m的值为________.

m42

【导学号：09390028】

c2b24

【解析】 当椭圆的焦点在x轴上时，a＝m，b＝4，且m＞4，则e＝2＝1－2＝1－

aam2

2

2

116

＝，∴m＝； 43

当椭圆的焦点在y轴上时，a＝4，b＝m，且0＜m＜4，

2

2

c2b2m1

则e＝2＝1－2＝1－＝，∴m＝3.

aa44

2

16

【答案】 3或 3

x2y2b6．椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点F到过顶点A(－a，0)，B(0，b)的直线的距离等于，

ab7

则椭圆的离心率为________．

【解析】 由题意知直线AB的方程为＋＝1，即bx－ay＋ab＝0.

－ab|－cb＋ab|b左焦点为F(－c,0)，则＝.

a2＋b27∴7(a－c)＝a＋b，

∴7(a－c)＝a＋b＝a＋a－c＝2a－c，即5a－14ac＋8c＝0， 152

∴8e－14e＋5＝0，解得e＝或e＝. 241

又∵0

21

【答案】

2

7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200 km，月球的半径约是1 800 km，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22xy

图2-2-4

【解析】 可设小椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，由已知得 2a＝1 700＋2×1 800＋200， ∴a＝2 750.

又a＋2c＝1 700＋1 800，∴c＝375.

c3753∴e＝＝＝.

a2 75022

【答案】

3 22

2

2

8．过椭圆x＋2y＝4的左焦点作倾斜角为30°的直线，交椭圆于A，B两点，则弦长

AB＝________.

【解析】 椭圆左焦点为(－2，0)， ∴直线方程为y＝

3

(x＋2)， 3

??y＝3x＋2

3由???x2＋2y2＝4

得5x＋42x－8＝0，

2

428∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，

55∴弦长AB＝【答案】

16 5

?1＋1???42?2－4×?－8??＝16. ?3???－?5??5?????5????

二、解答题

9．若椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，点P是椭圆上的一点，P在x轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P与中心O的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．

x2y2

【解】 令x＝－c，代入2＋2＝1(a>b>0)，

abb?c?b得y＝b?1－2?＝2，∴y＝±.

a?a?a2

2

2

4

2

b??设P?－c，?，椭圆的右顶点A(a,0)，上顶点B(0，b)．

a??b2b∵OP∥AB，∴kOP＝kAB，∴－＝－，

aca∴b＝c.而a＝b＋c＝2c，∴a＝2c，∴e＝＝

2

2

2

2

2

ca2. 2

又∵a－c＝10－5，解得a＝10，c＝5，∴b＝5， ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

105

10．设直线y＝x＋b与椭圆＋y＝1相交于A，B两个不同的点．

2(1)求实数b的取值范围； (2)当b＝1时，求|AB|.

【解】 (1)将y＝x＋b代入＋y＝1，

2消去y，整理得3x＋4bx＋2b－2＝0.①

因为直线y＝x＋b与椭圆＋y＝1相交于A，B两个不同的点，

2所以Δ＝16b－12(2b－2)＝24－8b＞0， 解得－3＜b＜3.

所以b的取值范围为(－3，3)． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 当b＝1时，方程①为3x＋4x＝0. 4

解得x1＝0，x2＝－.

31

所以y1＝1，y2＝－.

3所以|AB|＝

2

2

2

2

2

2

x2y2

x2

2

x2

2

x2

2

x1－x2

2

＋y1－y2

2

42＝.

3能力提升]