2020高考数学一轮复习第八章立体几何8-2空间几何体的表面积与体积理

解析 该几何体是由半个圆柱和半个圆锥构成的组合体，所以V＝×π×4×1＋××π×4×2＝π.故选C. 6．(20xx·福建三明一中第二次月考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为( ) A. B. C．2 D．1 答案 A 解析 由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为1，则正方形的边长为.∵ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，∴BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴侧面ABB1A1的面积为×1＝.故选A. 7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和为________． 答案 π 解析 由题意，图中弧为过球心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，因为∠A1AE＝∠BAF＝，所以∠EAF＝，由弧长公式知弧的长为2×＝.弧为不过球心的平面与球面相交所得小圆的一段弧，其圆心为B，因为球心到平面BCC1B1的距离d＝，球的半径R＝2，所以小圆的半径r＝＝1，又∠GBF＝，所以弧的长为1×＝.故两段弧长之和为. 8．(20xx·新疆乌鲁木齐地区二诊)已知四面体ABCD满足AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________． 答案 7π 解析 (图略)在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连接AE，BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝， 13 / 16 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 ∴AE＝.同理BE＝.取AB的中点为F，连接EF.由AE＝BE，得EF⊥AB.在Rt△EFA中，∵AF＝AB＝，AE＝，∴EF＝1.取EF的中点为O，连接OA，则OF＝.在Rt△OFA中，OA＝.∵OA＝OB＝OC＝OD，∴该四面体的外接球的半径是，∴外接球的表面积是7π. 9. (20xx·三门峡陕州中学对抗赛)如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1.则三棱锥P－ABC体积的最大值为________． 答案 解析 VP－ABC＝PO·S△ABC，当△ABC的面积最大时，三棱锥P－ABC体积达到最大值．当CO⊥AB时，△ABC的面积最大，最大值为×2×1＝1，此时VP－ABC＝PO·S△ABC＝. 10．(20xx·浙江)如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD＝DA，PB＝BA，则四面体PBCD的体积的最大值是________． 1答案 213解析 设PD＝DA＝x， 在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°， ∴AC＝AB2＋BC2－2·AB·BC·cos∠ABC ＝＝2， ∴CD＝2－x，且∠ACB＝(180°－120°)＝30°， ∴S△BCD＝BC·DC·sin∠ACB＝×2×(2－x)×＝(2－x)． 要使四面体体积最大，当且仅当点P到平面BCD的距离最大，而P到平面BCD的最大距离为x. 则V四面体PBCD＝×(2－x)x＝[－(x－)2＋3]，由于0＜x＜2， 14 / 16 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 故当x＝时，V四面体PBCD的最大值为×3＝. 11．(20xx·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD. (1)证明：平面AEC⊥平面BED； (2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积． (1)证明 因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE. 因为BE∩BD＝B，故AC⊥平面BED. 又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED. (2)解 设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝. 因为AE⊥EC，所以在Rt △AEC中， 可得EG＝x. 由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形， 可得BE＝x. 由已知得，三棱锥EACD的体积 VEACD＝·AC·GD·BE＝x3＝. 故x＝2. 从而可得AE＝EC＝ED＝. 所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为. 故三棱锥EACD的侧面积为3＋2. *12.如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB＝2，EB＝. (1)求证：DE⊥平面ADC； 15 / 16 【本资料精心搜集整理而来，欢迎广大同仁惠存！】 (2)设AC＝x，V(x)表示三棱锥B－ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值． (1)证明 ∵四边形DCBE为平行四边形， ∴CD∥BE，BC∥DE. ∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC. ∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC＝C， ∴BC⊥平面ADC. ∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC. (2)解 ∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC. 在Rt△ABE中，AB＝2，EB＝. 在Rt△ABC中，∵AC＝x，BC＝(0