2011年全国高中数学联赛模拟卷(6)（一试+二试，附详细解答）

2011年全国高中数学联赛模拟卷(6)第一试

(考试时间：80分钟 满分：120分)

姓名：_____________考试号：______________得分：____________

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

1. 设f(x)是一个偶函数,使得对所有整数x和y,都有f(x?y)?f(x)?f(y)?6xy?1, 则f(2011)?f(2010)?____________

2. y?(3x?1)(9x?6x?5?1)?(2x?3)(4x?12x?13?1)的图象与x轴交点坐标是 3. 将二顶式(x?124x)的展开式按x的降幂排,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x的幂指数

n22是整数的项共有 个.

4. 已知数列{an}是正整数组成的递增数列, an?2?an?1?2an?n?N??, 若a5则a7?_________ ?52，

5. 在三棱椎P?ABC中, BC=3, CA=4, AB=5, 若三侧面与底面所成二面角均为45°, 则VP?ABC＝________

1

6. 数列a0, a1,…, an满足a0＝3, an+1=[an]＋, ([x],{x}分别表示x的整数部分和小数部分),

{an}

则a2011=__________ 7. 由直线y?n2(n∈N*)与抛物线y?x2所围成的封闭区域内(包括边界)的整点个数为_____________

111

8. 有一道数学竞赛题, 甲, 乙, 丙单独解出的概率分别为, , (a,b,c∈N*且1≤a,b,c≤10), 现甲,

abc

7

乙, 丙同时独立解答此题, 若他们中恰有一人解出此题的概率为, 那么, 他们三人都未解出此题的

15

概率为__________

二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分） 10. 设数列{an}的前n项和Sn与an的关系为Sn＝－ban－

1(1?b)n+1，其中b是与n无关的常数，

且b≠－1.（1）求an与an?1的关系式；（2）写出用n与b表示an的表达式.

9．已知定义在???,4?上的减函数f (x)，使得f?m?sinx??f成立，求实数m的范围．

?1?2m?72?cosx对一切实数x均4?

x2y2

11. 椭圆C1：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，P为椭圆C1上任意一点，

?????????22?其中c?a2?b2．且PF1?PF2最大值的取值范围是?⑴ 求椭圆C1的离心率e的取值范围； ?c,3c?，⑵ 设双曲线C2以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C2在第一象限上任意一点， 当e取得最小值时，试问是否存在常数????0?，使得?BAF1???BF1A恒成立？若存在求出?的值；若不存在，请说明理由．

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2011年全国高中数学联赛模拟卷(6)加试

(考试时间：150分钟 满分：180分)

姓名：_____________考试号：______________得分：____________

一、（本题满分40分）圆O是△ABC的内切圆．D、E、F是BC、CA、AB上的切点，

DD?，EE?，FF?都是圆O的直径．求证：AD?，BE?，CF?共点．

A F D/ O E B E/ D F/ C 二、（本题满分40分）若x,y,z是正实数，且xy?yz?zx?xyz，

求x(yz?1)?y(zx?1)?z(xy?1)的最小值．

777

三、（本题满分50分）证明：对于大于2的任意正整数a，存在无限多个n?N*．使得n|an?1．

四、（本题满分50分）给定n个共线的点，考虑点与点之间的距离，假设每个距离最多出现两次，

证明：至少有??个距离分别只出现过一次.

2???n?

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2011年全国高中数学联赛模拟卷(6)答案

1、令x?y?0, 得f(0)??1,令y??x, 得f(x)?3x2?1, 所以f(2011)?f(2010)?12063 2、解：y?(3x?1)((3x?1)2?4?1)?(2x?3)((2x?3)2?4?1), 令f(t)?t(t?4?1)，可知f(t)是奇函数，且严格单调，所以y?f(3x?1)?f(2x?3)，当y?0时，f(3x?1)??f(2x?3)?f(3?2x)， 5511113、易求前三项系数分别是1,n,n(n?1).由这三个数成等差数列,有2?n?1+n(n?1),

2828442所以3x?1?3?2x，故x?，即图像和x轴交点坐标为(,0)

解得n?8和n?1(舍去). 当n?8时, Tr?1?C?()?x2r81r(4?3r4), 由43r, 得r只能是0, 4, 8.

4、a3?a2?2a1,a4?a3?2a2?3a2?2a1，a5?a4?2a3?5a2?6a1 方程5a2?6a1?52的正整数解为a1?2,a2?8或a1?7,a2?2，又a2?a1 ∴a1?2,a2?8，故a7?a6?2a5?21a2?22a1?212

5、作PO?面ABC于O，OD?BC于D，OE⊥CA于E，OF⊥AB于F，设OP=h，则 ?PDO??PEO??PFO?45，于是OD?OE?OF?h?cot45?h，在△ABC中，

113OD?4OE?5OF?2S?ABC?12，即：3h?4h?5h?12，所以h?1, V?Sh??6?1?2

33??6、由已知得：a0?1?a2?2?a4?7???3?1，a1?1?3?1?4??13?1?1?3?121?2?3?122 ?5?3?1223?1 ?2???3?1，a3?4??3?1?4?3?123?1

3?12?3?1，易得：a2k?3k?1?22??3?1,a2k?1?3k?2?22?, 所以 a2011?3015?

7、直线y?n与抛物线y?x的交点A?n,n其端点坐标为C?k,n22?,B??n,n?，设直线x?k上位于区域内的线段为CD，

2则线段CD上的整点数为n?,D?k,k?，

?k?1，k???n,????1,0,1,2,???n?，

2n2故区域内的整点数为：8、依题意：

??k??nnn?k?1??2n?1?n?1?2?k222k?1????13?2n?1??2n2?n?3?

1b?1c?1a?11c?1a?1b?117 ?????????abcabcabc15即：15???a?1??b?1???b?1??c?1???c?1??a?1????7abc

所以：5|abc, 不妨设5|c，于是c=5，3???a?1??b?1??4?b?1??4?a?1????7ab 即：3?3a?3b?7??4ab，所以3|ab，不妨设3|b，于是b?3,6,9

当b?3时，a?2；b?6时，3a?11?8a，无整数解。b?9时，3a?20?12a，无整数解。 所以a?2， b?3， c?5，于是三人都未解出的概率为

415

???m?sinx?1?2m?7?cos2x,?m?1?2m??sin2x?sinx?3,9、由题意可得? 即? 44对x?R恒成立，

???m?sinx?4.?m?4?sinx.3121又?sin2x?sinx???(sinx?)?，所以4?sinx?3．

4222011模拟卷（6） 第 3 页 共 6页

???m?1?2m??1,?m?1?1?2m,13所以? 所以m??，或?m?3． 2 所以?222???m?3.?m?3.11得a1?10、解（1）a1?S1??ba1?1? 2(1?b)(1?b)当n≥2时，an=Sn－Sn－1＝－ban+1－整理得an?b1?ban?1?b(1?b)n?11(1?b)n?[?ban?1?1?1(1?b)]??ban?ban?1?n?1b(1?b)n,

(n?2)(*)

1111－

⑵ 当b＝1时，a1＝, an?an?1?n?1,两边同乘以2n，得2nan=2n1an－1＋, 可知数列{2nan}是

422211nn11n以2a＝为首项，公差为的等差数列. 所以2an??(n?1)?,即an?n?1.

222222当b≠1，b≠－1时，由（*）式得(1+b)nan=b(1+b)n1an－1+

－

b1?bn

1(1?b)bn?1有(1?bb)an?(n1?bb)n?1an?1?1(1?b)b1n?1. 令cn?(1?bb)an,?cn?cn?1?.

从而数列{cn－cn－1}就是一个等比数列，n取2，3，…，n得

c2?c1?1(1?b)b1(1?b)b111?bbnnn?1,c3?c2?(1?b)b2,?,cn?cn?1?cn?c1?所以cn?从而an?,上述n?1个式子相加得???1b21?bb(1?1b1b21b),且c1?n?11b?n?11?bbn?1na1?n11?b,,n

(1?????bnn)?1?bb(1?b)(1?b)?(1?b)?cn?1?bbn?1b(1?b)(1?b)(1?b)n?1(1?b)(1?b)(1?b),故数列{an}的通项公式为 an?????????11、⑴ 设P?x,y?，又F1??c,0?,F2?c,0?，∴PF1???c?x,?y?,PF2??c?x,?y?．

2222?????????yxbx2222222PF1?PF2?x?y?c．又2?2?1，得y?b?,0?x?a． 2aba2?????????b2?2c22222?∴PF1?PF2??1?2?x?b?c?2x?b?c．

a?a??????????2222222222∴当x?a时PF1?PF2max?b，c?b?3c,c?a?c?3c．

?n?2n,???nb(1?b)??(1?b)(1?b)n?1?b?1,

b??1.12111c12∴?2?，即?e?．∴?e?．

224a24221⑵当e?时，a?2c,b?22yx?1，A?2c,0?． 3c．∴C2:2?2c3c22011模拟卷（6） 第 4 页 共 6页