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事故树分析
函数Φ(X)决定于基本事件Xi中的最大状态值。
二、最小割集 1.割集和最小割集
事故树顶事件发生与否是由构成事故树的各种基本事件的状态决定的。很显然,所有基本事件都发生时,顶事件肯定生。然而,在大多数情况下, 并不是所有基本事件都发生时顶事件才发生,而只要某些基本事件发生就可导致顶事件发生。在事故树中,我们把引起顶事件发生的基本事件的集合称为割集,也称截集或截止集。一个事故树中的割集一般不止一个,在这些割集中,凡不包含其他割集的,叫做最小割集。换言之,如果割集中任意去掉一个基本事件后就不是割集, 那么这样的割集就是最小割集。所以,最小割集是引起顶事件发生的充分必要条件。
图 3-12所示的事故树中,顶事件的发生状态完全由5个基本事件的状态所决定,可应用真值表列出顶事件发生状态与基本事件发生状态的关系,见表3-5。
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若用1表示事件发生,用0表示事件不发生, 则5个基本事件有25=32 种状态
组合。对应于32种状态中任何一种状态,是否引起顶事件发生,应根据图3-12所示事故树的结构及布尔代数运算来确定。
如果布尔函数Φ的变元是仅取0与1两个值的变量,根据布尔代数运算规则计算每种状态下的布尔函数,并用表格形式给出,这种表称为真值表。
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表 3-5基本事件状态值与顶事件状态值
X0000000000000000XOOOOOOOO11111111XOOOO1111OOOO1111XOO11OO11OO11OO11XO1O1O1O1O1O1O1O1Φ(0i., Xj)O O O O O 1 O 1 O O O O O 1 O 1 X1111111111111111XOOOOOOOO11111111XOOOO1111OOOO1111XOO11OO11OO11OO11XΦ(1i,, XO1O1O1O1O1O1O1O1O O 1 1 O 1 1 1 O O 1 1 1 1 1 1 由表3-5可知,导致顶事件发生(Φ(X)=1)的基本事件组合共有15种,即该事故树有15个割集。15个割集中,有的割集包含在其他割集中,例如割集{ X1, X4}包含在割集{ X1, X2, X3, X4, X5 }中。只要事件X1和事件X4发生,顶事件必然发生; 且在事件X1和事件X4中任一个不发生,顶事件就不会发生。因此,割集{ X1, X4}是最小割集,而割集{ X1, X2, X3, X4, X5 }不是最小割集。 2.求最小割集的方法
简单的事故树,可以直接观察出它的最小割集。但是,对一般的事故树来说,就不易做到, 对于大型复杂的事故树来说, 就更难了。这时,就需要借助于某些算法,并需要应用计算机进行计算。求最小割集的常用方法有布尔代数法、行列法、矩阵法等。
1) 布尔代数法
任何一个事故树都可以用布尔函数来描述。化简布尔函数, 其最简析取标准式中每个最小项所属变元构成的集合,便是最小割集。若最简析取标准式中含有m个最小项,则该事故树有m个最小割集。
根据布尔代数的性质,可把任何布尔函数化为析取和合取两种标准形式。析取
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标准形式为:
合取标准形式为:
可以证明,Ai 和Bi 分别是事故树的割集和径集。如果定义析取标准式的布尔项之和Ai 中各项之间不存在包含关系, 即其中任意一项基本事件布尔积不被其他基本事件布尔积所包含,则该析取标准式为最简析取标准式,那么Ai为结构函数f的最小割集。同理,可以直接利用最简合取标准式求取事故树的最小径集。 用布尔代数法计算最小割集,通常分三个步骤进行。
第一, 建立事故树的布尔表达式。一般从事故树的顶事件开始,用下一层事件代替上一层事件, 直至顶事件被所有基本事件代替为止。 第二, 将布尔表达式化为析取标准式。 第三, 化析取标准式为最简析取标准式。
化简最普通的方法是, 当求出割集后,对所有割集逐个进行比较,使之满足最简析取标准式的条件。但当割集的个数及割集中的基本事件个数较多时,这种方法不但费时,而且效率低。所以常用素数法或分离重复事件法进行化简。
(1) 素数法将每一个割集中的基本事件用一个素数表示, 该割集用所属基本事件对应的素数的乘积表示,则一个事故树若有 N 个割集, 就对应有N个数。把这N个数按数值从小到大排列 , 按以下顺序求最小割集:
①素数表示的割集是最小割集,与该素数成倍的数所表示的割集不是最小割集。 ②在N个割集中去掉上面确定的最小割集和非最小割集后,再找素数乘积的最小数,该数表示的割集为最小割集,与该最小数成倍的数所表示的割集不是最小割集。 ③重复上述步骤,直至在N个割集中找到N1 个最小割集 (N1≠0, N1≤N)个非最小割集 (0≤N2≤ N- N1), 且 Nl+N2=N 为止。
(2) 分离重复事件法。该法是1986年由法国学者利姆尼斯 (N.Limnios) 和齐安尼(R.Ziani) 提出的。其基本根据是, 若某一事故树中无重复的基本事件,则求出的割集为最小割集。若树中有重复的基本事件,则不含重复基本事件的割集就是最
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