(名师导学)2020版高考数学总复习第一章第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件练习理新人教A版

第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

夯实基础 【p4】

【学习目标】

1．理解命题的概念及命题构成，了解“若p，则q”形式命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；

2．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 【基础检测】

1．下列语句中是命题的有( ) ①空集是任何集合的真子集． ②3x－2>0.

③垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ ④把门关上．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【解析】①是能判断出真假的陈述句，故①是命题； ②不能判断出真假，故②不是命题； ③是疑问句，故③不是命题； ④不能判断出真假，故④不是命题． 【答案】A

2．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】由题得原命题“若x≥0，y≥0，则xy≥0”是真命题，所以其逆否命题也是真

1

命题．

逆命题为：“若xy≥0，则x≥0，y≥0”，是假命题，所以否命题也是假命题，所以四个命题中，真命题的个数为2.

【答案】B

3．已知a，b都是实数，那么“2>2”是“a>b”的( )

a

b

2

2

A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】由2>2可得a>b，但a，b的具体值不知道，当a＝1，b＝－2时2>2成立，但无法得到a>b，故充分性不成立，再由a>b，例如a＝－2，b＝－1，但得不到2>2，故必要性也不成立．

【答案】D

4．命题“若a＝b，则a≥b”的逆否命题是________． 【解析】“若a＝b，则a≥b”的逆否命题是：若a

5．“f(0)＝0”是“函数f(x)是R上的奇函数”的__________________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一个)

【解析】因为f(x)＝x满足f(0)＝0，但不是奇函数，所以充分性不成立， 因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0必要性成立． 因此“f(0)＝0”是“函数f(x)是R上的奇函数”的必要不充分条件． 【答案】必要不充分 【知识要点】 1．命题

2

2

2

2

2

a

b

a

b

a

b

2

用语言、符号或式子表达的，可以__判断真假的陈述句__叫做命题，其中判断为真的语句叫做__真命题__，判断为假的语句叫做__假命题__．

2．四种命题及其关系

(1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的__结论__是第二个命题的__条件__，那么这两个命题叫做__互逆命题__；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的__逆命题__．

(2)同时否定原命题的__条件__和__结论__，所得的命题是原命题的否命题． 注意：“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念．如果原命题是“若p，则q”，那么这个原命题的否定是“若p，则非q”，即只否定结论，而原命题的否命题是“若綈p，则綈q”，即既否定命题的条件，又否定结论．

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得到的命题是原命题的__逆否命题__． (4)一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p，q的否定，于是四种命题形式是：原命题：若p，则q；逆命题：__若q，则p__；否命题：__若綈p，则綈q__；逆否命题：__若綈q，则綈p__．

(5)四种命题之间的关系

注意：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件

(1)如果p?q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； (2)如果p?q，但q?/p，则p是q的充分不必要条件； (3)如果p?q，且q?p，则p是q的充要条件；

3

(4)如果q?p，且p?/ q，则p是q的必要不充分条件； (5)如果p?/ q，且q?/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．

典例剖析 【p4】

考点1 四种命题及其相互关系

例1(1)命题“正数a的平方根不等于0”是命题“若一个数a的平方根不等于0，则a是正数”的( )

A．逆命题B．否命题 C．逆否命题D．否定命题

【解析】命题“正数a的平方根不等于0”的条件为a>0，结论为a≠0；命题“若一个数a的平方根不等于0，则a是正数”的条件为a≠0，结论为a>0.

∴命题“正数a的平方根不等于0”是命题“若一个数a的平方根不等于0，则a是正数”的逆命题．

【答案】A

(2)有下列四个命题：

①命题“面积相等的三角形全等”的否命题； ②“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题； ③命题“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题；

④命题“若m>1，则x－2x＋m＝0有实根”的逆否命题． 其

中

是

真

命

题

的

是

2

________________________________________________________________________(填上你认为正确的命题的序号)．

【解析】①否命题为：面积不相等的三角形不全等，真命题； ②逆命题为：若x，y互为倒数，则xy＝1，真命题；

③若A∩B＝B，则B?A，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题；

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