平面向量知识点总结及同步练习

沿途教育

→·→＝|OA→|·→|·∴OAOB|OBcos120°＝－2.

三、解答题。

11．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.

求证：AD⊥CE.

[证明] 以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． a?2???1

设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，D?0，2?，C(0,0)，E?3a，3a?.

????a?→?12?→＝??－a，2?，CE∴AD＝?3a，3a?.

????1a2→·→＝－a·∵ADCEa＋AD⊥CE.

32·3a＝0，∴

12．△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连结DF，求证：∠ADB＝∠FDC.

[证明] 如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，→＝(2，－2)

则D(1,0)，AC

→＝λAC→， 设AF

→＝BA→＋AF→＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)， 则BF

→＝(－1,2) 又DA

→⊥→，∴→·→＝0，

由题设BFDABFDA2∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝3.

42?12?→＝?→＝BF→－BD→＝??3，3?，∴?3，3?， ∴BFDF

????→＝(1,0)， 又DC

13

沿途教育

→·→→·→DADB5DFDC5

∴cos∠ADB＝＝， cos∠FDC＝＝，

→|·→|5→|·→|5|DA|DB|DF|DC又∠ADB、∠FDC∈(0，π)，∴∠ADB＝∠FDC.

13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1) (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； →－tOC→)·→＝0，求t的值．

(2)设实数t满足(ABOC

→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，则AB→＋AC→＝(2,6)，AB→－AC→＝(4,4)． [解析] (1)由题设知AB

→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42. 所以|AB

故所求的两条对角线长分别为42和210.

→＝(－2，－1)，AB→－tOC→＝(3＋2t,5＋t)．

(2)由题设知OC

11→－tOC→)·→＝0，得(3＋2t,5＋t)·

由(ABOC(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－5. 14．一条宽为3km的河，水流速度为2km/h，在河两岸有两个码头A、B，已知AB＝3km，船在水中最大航速为4km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？

→→

[解析] 如图所示，设AC为水流速度，AD为航行速度，以AC和AD为邻边作?ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸．根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和?ACED中，

→|＝|AC→|＝2，|AD→|＝4，∠

|DEAED＝90°. →|＝∴|AE

→|2－|DE→|2＝23，

|AD

1

sin∠EAD＝2，∴∠EAD＝30°，用时0.5h.

答：船实际航行速度大小为4km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时半小时．

1

15．在?ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝3BD，求证：M，N，C三点共线．

14

沿途教育

→＝BN→－BM→.

[证明] MN

→＝1BA→，BN→＝1BD→＝1(BA→＋BC→)， 因为BM

233→＝1BA→＋1BC→－1BA→，

所以MN

3321→1→

＝3BC－6BA.

→＝BC→－BM→＝BC→－1BA→， 由于MC

2→＝3MN→，即MC→∥→. 可知MCMN

又因为MC、MN有公共点M，所以M、N、C三点共线．

16．如图所示，正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF.

[分析] 本题所给图形为正方形，故可考虑建立平面直角坐标系，用向量坐标来解决，→→的坐标，证明其模相等即可． 为此只要写出PA和EF

[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为

??2?22?2?→|＝λ(λ>0)，则F??λ，0?，P?λ，λ?，E?a，λ?， a，则A(0，a)．设|DP

2?2??2??2?22?→?22?→＝??λ－a，－λ?，P所以EFA＝?－λ，a－λ?，

2?2??2?2

→|2＝λ2－2aλ＋a2，|P→→|＝|P→

因为|EFA|2＝λ2－2aλ＋a2，所以|EFA|， 即PA＝EF.

17．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AC，E是垂足，F是DE的中点，求证AF⊥BE.

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沿途教育

[证明] ∵AB＝AC，且D是BC的中点， →⊥→，∴→·→＝0. ∴ADBCADBD→⊥→，∴→·→＝0. 又DEACDEAE→＝DC→，F是DE的中点， ∵BD

1→→∴EF＝－2DE.

→·→＝(AE→＋EF→)·→＋DE→) ∴AFBE(BD

→·→＋AE→·→＋EF→·→＋EF→·→＝AE→·→＋EF→·→＋EF→·→＝(AD→＋DE→)·→＋＝AEBDDEBDDEBDBDDEBD→·→＋EF→·→＝AD→·→＋DE→·→＋EF→·→＋EF→·→＝DE→·→－1DE→·→－1DE→·→＝1EFBDDEBDBDBDDEDCDCDE

222→·→－1DE→·→＝1DE→·→－DE→)＝1DE→·→＝0.

DEDCDE(DCEC

222

→⊥→，∴∴AFBEAF⊥BE.

平面向量的概念及其线性运算

一、选择题

1．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A．EF＝OF＋OE B．EF＝OF－OE C．EF＝－OF＋OE

D．EF＝－OF－OE

2．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，

AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为( )

1

A.2

1B.3 16