2018届苏锡常镇高三二模数学试卷及答案(word)

证明：因为x，y都是正数，

所以1?x?y2?33xy2?0，1?y?x2?33yx2?0，

(1?x?y2)(1?y?x2)?9xy，又因为xy?1，

所以(1?x?y)(1?y?x)?9.

22【必做题】

22.解：（1）以D为原点，DA，DC，DP为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB?t，则D(0,0,0)，

A(2t,0,0)，B(2t,t,0)，C(0,t,0)，P(0,0,2t)，Q(t,0,t)； uuuruuuruuur所以CQ?(t,?t,t)，DB?(2t,t,0)，DP?(0,0,2t)，

uuurur?ur?DB?n1?0设平面PBD的法向量n1?(x,y,z)，则?uuu， rur??DP?n1?0ur?2tx?ty?0?2x?y?0即?，解得?，所以平面PBD的一个法向量n1?(1,?2,0)，

2tz?0z?0??uruuururuuur15n1?CQ3t?cos?n1,CQ??ur， uuur?55?3tn1CQ15. 5uuuruuuruuuruuuruuururPQ（2）由（1）知平面PBD的一个法向量为n1?(1,?2,0)，设??(0???1)，则PQ??PA，DQ?DP?PQPAuuuruur?(0,0,2t)??(2t,0,?2t)?(2t?,0,2t(1??))，DB?(2t,t,0)，设平面QBD的法向量n2?(x,y,z)，则

则CQ与平面PBD所成角的正弦值为

uuuruur??2t?x?2t(1??)z?0??x?(1??)z?0?DQ?n2?0，即，解得，所以平面QBD的一个法向量uuuruur???2tx?ty?02x?y?0????DB?n2?0uurn2?(1??,2??2,??)，

uruur

uruur22n1?n2

由题意得1?()?cos?n1,n2??uruur?3n1n255(1??)22所以?，即(??2)(??)?0， 296??10??53因为0???1，所以??

5(1??)5(1??)?(2??2)?(??)222，

2PQ2?. ，则

3PA323. 解：（1）D1?0，D2?1，

D3?2，

D4?9，

（2）Dn?(n?1)(Dn?1?Dn?2)， 理由如下：

对An的元素的一个错位排列（a1，a2，…，an），若a1?k(k?1)，分以下两类： 若ak?1，这种排列是n?2个元素的错位排列，共有Dn?2个；

若ak?1，这种错位排列就是将1，2，…，k?1，k?1，…，n排列到第2到第n个位置上，1不在第k个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于n?1个元素的错位排列，共有Dn?1个； 根据k的不同的取值，由加法原理得到Dn?(n?1)(Dn?1?Dn?2)； （3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，Dn均为自然数；

当n?3，且n为奇数时，n?1为偶数，从而Dn?(n?1)(Dn?1?Dn?2)为偶数， 又D1?0也是偶数，

故对任意正奇数n，有Dn均为偶数.

下面用数学归纳法证明D2n（其中n?N）为奇数. 当n?1时，D2?1为奇数；

假设当n?k时，结论成立，即D2k是奇数，则当n?k?1时，D2(k?1)?(2k?1)(D2k?1?D2k)，注意到D2k?1为偶数，又D2k是奇数，所以D2k?1?D2k为奇数，又2k?1为奇数，所以D2(k?1)?(2k?1)(D2k?1?D2k)，即结论对n?k?1也成立；

根据前面所述，对任意n?N，都有D2n为奇数。

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