2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第九章 1 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

知识点 直线的方程 最新考纲 理解平面直角坐标系，理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握直线方程的点斜式、两点式及一般式，了解直线方程与一次函数的关系. 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． 会求过两点的直线斜率、两直线的交点坐标、两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离． 掌握圆的标准方程与一般方程． 会解决直线与圆的位置关系的问题，会判断圆与圆的位置关系． 掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质． 会解决直线与椭圆的位置关系的问题． 了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系． 掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质． 会解决直线与抛物线的位置关系的问题． 了解方程与曲线的对应关系．会求简单的曲线的方程. 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1．直线的倾斜角

(1)定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．

(2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率

(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率．

(2)过两点的直线的斜率公式

y2－y1y1－y2

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝＝.

x2－x1x1－x2

两直线的位置关系 圆的方程 直线、圆的位置关系 椭 圆 双曲线 抛物线 曲线与方程

3．直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 已知条件 斜率k与点(x1，y1) 斜率k与直线在y轴上的截距b 方程 y－y1＝k(x－x1) y＝kx＋b y－y1x－x1＝ y2－y1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2) 直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b xy＋＝1 ab(a≠0，b≠0) Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )

(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( )

(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ [教材衍化]

1．(必修2P86练习T3改编)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．

m－4

解析：由题意得＝1，解得m＝1.

－2－m答案：1

2．(必修2P100A组T8改编)直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________．

kkkk

解析：令x＝0，得y＝； 令y＝0，得x＝－，则有－＝2，所以k＝－24.

4343答案：－24 [易错纠偏]

适用范围 不含直线x＝x1 不含垂直于x轴的直线 不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面直角坐标系内的直线都适用 两点式 两点(x1，y1)，(x2，y2) 截距式 一般式

(1)由直线方程求斜率的思路不清； (2)忽视斜率和截距对直线位置的影响； (3)忽视直线斜率不存在的情况； (4)忽视截距为0的情况．

1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋a＝0的斜率为________． sin 30°3

解析：设直线l的斜率为k，则k＝－＝.

cos 150°3答案：

3 3

2．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第________象限． CC

解析：由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，

AB故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．

答案：三

3．过直线l：y＝x上的点P(2，2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为________．

解析：①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，2

不符合题意；③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－，

k211112－?×2＝2，即?1－?＝1，解得k＝，所以直线m的方程为y－2＝(x－依题意有×?k??k?2?222)，即x－2y＋2＝0.综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.

答案：x－2y＋2＝0或x＝2

4．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________． 解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0； xy

当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，

aa

23

则＋＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0. aa答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0

直线的倾斜角与斜率

ππ

(1)直线2xcos α－y－3＝0?α∈?，??的倾斜角的变化范围是( )

??63??

ππ

A.?，? ?63?ππC.?，? ?42?

ππB.?，? ?43?π2πD.?，?

3??4

(2)已知直线l：x－my＋3m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率kMA与kMB之积为3，则实数m的取值范围是( )

A．[－6，6] B.?－∞，－

??

6??6?∪，＋∞

6??6?6??6?∪，＋∞ 6??6?

C.?－∞，－

D．以上都不对

ππ1

【解析】 (1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.由于α∈?，?，所以≤

2?63?

cos α≤

3

，因此k＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由2

于θ∈[0，π)，所以θ∈?，?，即倾斜角的变化范围是?，?.

?43??43?

yy

(2)设M(x，y)，由kMA·kMB＝3，得·＝3，即y2＝3x2－3.

x＋1x－1

ππππ?x－my＋3m＝0，?123

－3?x2＋联立?2得x＋6＝0. 2?m?m?y＝3x2－3，

要使直线l：x－my＋3m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率1123?

－3?≥0，即m2≥.所以实数m的取值范围是kMA与kMB之积为3，则Δ＝?－24?2?m?6?m?

2

?－∞，－6?∪?6，＋∞?.故选C.

6??6??

【答案】 (1)B (2)C

(变条件)若本例(1)中直线变为x＋ycos θ－3＝0(θ∈R)，则直线的倾斜角α的取值范围为________．

π解析：当cos θ＝0时，方程变为x－3＝0，其倾斜角为；

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当cos θ≠0时，由直线的方程，可得斜率k＝－.

cos θ因为cos θ∈[－1，1]且cos θ≠0， 所以k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，