(word完整版)人教版高中数学必修四三角恒等变换单元检测

20．(本小题满分12分)已知向量m＝(sin A，cos A)，n＝(3，－1)且m·n＝1，且A为锐角．

(1)求角A的大小；

(2)求函数f(x)＝cos 2x＋4cos Asin x(x∈R)的值域．

21．(本小题满分12分)设向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，x∈R，函数f(x)＝a·(a＋b)．

(1)求函数f(x)的最大值与最小正周期； 3

(2)求使不等式f(x)≥成立的x的取值范围．

2

22．(2014·福建卷)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．

?5π?

(1)求f?4?的值；

??

(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．

参考答案：

DADAB BBDBB AC 13. 2 1 14. －

247 15. 3 16. 725

π43

17.解：(1)由0＜α＜，sin α＝，得cos α＝.

255sin2α＋sin 2αsin2α＋2sin αcos α所以＝＝

cos2α＋cos 2α3cos2α－1

?4?243??＋2××55?5?

?3?2

3×?5?－1??

＝20.

sin α4

(2)因为tan α＝＝，

cos α3

4－1

?5π?tan α－131

所以tan?α－4?＝＝＝. 47??1＋tan α1＋

3

?π?π??x＋18.解：(1)由sin2?≠0，得x＋2≠kπ(k∈Z)， ?

故f(x)的定义域为

??π?

?x?x∈R且x≠kπ－，k∈Z?.

2???

(2)由已知条件得sin α＝1－cos2α＝

?π?

1＋2cos?2α－4??

?

?π?sin?α＋2???

?3?24

1－?5?＝.

5??

从而f(α)＝ ＝

?ππ?

1＋2?cos 2αcos 4＋sin 2αsin 4?

??

cos α

1＋cos 2α＋sin 2α＝

cos α2cos2α＋2sin αcos α＝

cos α14

＝2(cos α＋sin α)＝. 5

??π???19.解：(1)f(x)的定义域为xx≠2＋kπ，k∈Z?. ????π??f(x)＝4tan xcos xcosx－3?－3 ???π?

??x－＝4sin xcos3?－3 ??1?3?＝4sin xcos x＋sin x?－3

2?2?

＝2sin xcos x＋23sin2x－3 ＝sin 2x＋3(1－cos 2x)－3

?π?

＝sin 2x－3cos 2x＝2sin?2x－3?.

??

2π

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

2

π

(2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是

3

?ππ?

?－＋2kπ，＋2kπ?，k∈Z.

2?2?

πππ

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，

232得－

π5π

＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 1212

?

?

??

?

?ππ???π5π?

?，易知设A＝?－4，4?，B＝?x?－12＋kπ≤x≤12＋kπ，k∈Z?ππ?

A∩B＝?－12，4?.

??

?ππ??ππ?

??所以当x∈－4，4时，f(x)在区间?－12，4?上单调递增，在区?????ππ?

?间－4，－12?上单调递减． ??

?π?

??A－20.解：(1)由题意得m·n＝3sin A－cos A＝2sin6?＝1， ??π?1

??A－sin6?＝2. ?

πππ由A为锐角得A－＝，所以A＝.

6631

(2)由(1)知cos A＝，

2

所以f(x)＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x＝

?1?23－2?sin x－2?＋.

2??

因为x∈R，所以sin x∈[－1，1]，

13

因此，当sin x＝时，f(x)有最大值，当sin x＝－1时，f(x)有

22最小值－3，

?3?

所以所求函数f(x)的值域为?－3，2?.

??

21.解：(1)因为f(x)＝a·(a＋b)＝a·a＋a·b＝sin2x＋cos2x＋sin xcos π?1132?

?x＋cosx＝1＋sin 2x＋(cos 2x＋1)＝＋sin2x＋4?，

2222??

2

322π

所以f(x)的最大值为＋，最小正周期T＝＝π.

222

π?3?π?332?

???(2)由(1)知f(x)≥?＋sin2x＋4≥?sin2x＋4?≥0?2kπ

222??2??ππ3π

≤2x＋≤2kπ＋π?kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

488

3

所以使f(x)≥成立的x的取值范围是

2π??3π?

?x?kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z?.

88???

?5π?5π?5π?5π

????sin ＋cos 22.解：法一：(1)f4＝2cos 44?＝ 4???

ππ?π?

??－sin －cos －2cos 44?＝2. 4?

(2)因为f(x)＝2sin xcosx＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2

?π?

sin?2x＋4?＋1， ??

2π

所以T＝＝π，故函数f(x)的最小正周期为π.

2