安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学（文）试题（解析版）

18.如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，.

(Ⅰ)若点为(Ⅱ)求四棱锥

的中点，求证:

的体积.

平面；

【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ) 【解析】 【分析】 (Ⅰ)取

的中点为，连结

∥平面

，,先利用线面平行的判定定理可证明

交

于，连结

∥平面，先证明

、∥平面，结合

，从

，

而可得平面可得

⊥平面

，进而可得结果；(Ⅱ)连结

的高为，

.

，即四棱锥的中点为，连结

，利用棱锥的体积公式可得结果.

【详解】(Ⅰ)取

∵∵∴∴又∵∴

为等边三角形，∴

，， ，∴平面∥平面

，.

. 平面，

.

，

∵为又∵∴∵又∵

的中点，为平面

，.

的中点，∴平面

，

∥.

∥平面

，∴平面平面交

，∴

∥平面∥平面

.

.

.

(Ⅱ)连结于，连结

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∵∴又∵又∵又∵∴四棱锥

，∴，∴.为

， 的中点. ，

，

，∴

⊥平面的体积

，即四棱锥

，∴.

的高为

， . .

【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定与性质以及三棱锥体积，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 19.某学校九年级三个班共有学

生人.为了了解学生的睡眠情况，现通过分层抽样的方法获得这三个班部分

学生学生周一至五睡眠时间的数据（单位：小时） 甲班 乙班 丙班

(Ⅰ)试估算每一个班的学生数；

(Ⅱ)设抽取的这位学生睡眠时间的平均数为.若在丙班抽取的名学生中，再随机选取人进一步地调查，求选取的这名学生睡眠时间既有多于、又有少于的概率. 【答案】(Ⅰ)甲乙丙人数分别为49,49,42(Ⅱ) 【解析】 【分析】

(Ⅰ)根据每个班级抽取的人数，可得到抽取的比例，从而可得每个班级的人数；(Ⅱ)利用平均数公式求出平均数，从这6名学生中随机选取3人的基本事件共有20种，列举出不满足条件的基本事件(3人睡眠时间都低于)有共4种情况，可得满足条件的基本事件数为16种，由古典概型概率公式可得结果. 【详解】(Ⅰ)甲班：(Ⅱ)因为

+

设事件

+ +

(人)，乙班 + + +

+

，所以

(人)，丙班

.

(人).

“3名学生睡眠时间既有多于、又有少于的学生”.丙班睡眠时间少于的有4人，设为，多于的有2人，设为

.从这6名学生中随机选取3人的基本事件共有20种，而不满足

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条件的基本事件(3人睡眠时间都低于)有件数为16种，

共4种情况，所以满足条件的基本事

，即在丙班被抽取的6名学生中，再随机地选取3人作进一步地调查，选取的3

人睡眠时间既有多于、又有少于学生的概率为.

【点睛】本题主要考查分层抽样与古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先

，

….

，再

，

…..

依次

….

… 这样才能

避免多写、漏写现象的发生. 20.设椭圆：

的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，，两点.若椭圆的离

心率为，的周长为.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)设不经过椭圆的中心而平行于弦，，三点共线. 【答案】(Ⅰ) 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由

的周长为

求得，由离心率求得，从而可得的值，进而可得结果；(Ⅱ)易知，当直线三点共线；当直线

的斜率存在时，由点差法可得

，

(Ⅱ)详见解析

的直线交椭圆于点，，设弦

，

的中点分别为，，证明：

的斜率不存在时，

，即

【详解】(Ⅰ)由题意知，又∵

∴椭圆的方程为(Ⅱ)易知，当直线当直线

.

，∴

，

，

.

，

.同理可得，从而可得结论.

的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点在轴上，

.

三点共线；

的斜率存在时，设其斜率为，且设

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联立方程得相减得，

∴，

∴，，即，

∴同理可得

.

，∴

，所以

三点共线.

的方程组，解出

，从而写出椭圆

【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于

的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 21.已知函数(Ⅰ) 设(Ⅱ) 若对【答案】(Ⅰ) 【解析】 【分析】 (Ⅰ)求出

，分别令

求得的范围，可得函数

增区间，在

求得的范围，可得函数

的减区

（其中，都有(Ⅱ)

是

（

，是自然对数的底数）

的极小值；

的导数），求

成立，求实数的取值范围.

间，结合单调性可求得函数的极值；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

.讨论当

时，当

上单调递增，在(0，1)上单调递减，

时两种情况，分别利用对数以及函数的单调性，求出函数最值，从而

可筛选出符合题意的实数的取值范围. 【详解】(Ⅰ)令∴∵当∴∴

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，

，∴

，

.

时，

，

.

在上为增函数，时，

；当

的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为

.

，