数值分析课后习题与解答

（7）对任何都有 （ ） （ ）

（8）若A为正交矩阵，则

答案： （1）（＋）（2）（－）（3）（＋）（4）（－） （5）（＋）（6）（＋）（7）（－）（8）（＋）

第六章 解线性方程组的迭代法

习题六

1. 证明对于任意的矩阵A，序列零矩阵 解：由于故

2. 方程组

而

收敛于

(1) 考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性. (2) 写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以

计算到

为止

解：因为

具有严格对角占优，故J法与GS法均收敛。 （2）J法得迭代公式是

取

，迭代到18次有

GS迭代法计算公式为

取

3. 设方程组

证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散

解：Jacobi迭代为其迭代矩阵

，谱半径为

迭代法为

，而Gauss-Seide

其迭代矩阵

，其谱半径为

由于

，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同

时收敛或同时发散。

4. 下列两个方程组Ax=b，若分别用J法及GS法求解，是否收敛?

解：Jacobi法的迭代矩阵是

即

，故

，J法收敛、

GS法的迭代矩阵为

故

，解此方程组的GS法不收敛。

5. 设，detA≠0，用,b表示解方程组Ax=f

的J法及GS法收敛的充分必要条件. 解 J法迭代矩阵为

，故J法收敛的充要条件是

代矩阵为

。GS法迭