概率统计简明教程习题答案（工程代数 - 同济版）

y0?y?2, = 2

其他0（2）设Y??X?1，则x?1?y?h?y?,h??y???1，Y的密度函数 其他00?1?y?12?y?1? = 其他0fY?y??fX?h?y??h??y??

2?1?y????1?

0?1?y?1

（3）设Y?X2，由于X只取?0,1?中的值，所以y?x2也为单调函数，其反函数h?y??因此Y的密度函数为

y,h??y??11，2yfY?y??fX?h?y??h??y??

1,0,2y?0,11,0?y?12y

其他 =

其他4. 对圆片直径进行测量，测量值X服从?5,6?上的均匀分布，求圆面积Y的概率密度。

1解 圆面积Y??X2，由于X均匀取?5,6?中的值，所以X的密度函数

4fX?x??

0?y?1

1,5?x?6; 0,其他.且y??x2为单调增加函数?x??5,6??，其反函数

14h?y??Y的密度函数为

4y??2y?1,,h??y??2111， ?2?y?y??6; ?y ?0,其他,125,??y?9?; = ?y 4

其他.0,fY?y??fX?h?y??h??y?? 5. 设随机变量X服从正态分布??0,1?，试求随机变量的函数Y?X的密度函数fY?y?。

25?2y 解 X~??0,1?，所以fX?x??12?e?x22,???x???，此时y?x2不为单调函数不能直接利用性质求出

fY?y?。须先求Y的分布函数FY?y?。

FY?y??P?Y?y??PX?y?

2P?y?X?yy1?x22P?y?X?y??fX?x?dx??edx.

?y?y2?1?2y11?2y1e?e,y?0; fY?y??FY??y?? 2?2y2?2y其他,0,??0?y?0;

y?0,y???

1 =

2?y0,e,?2y

y?0;其他.

X6. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，求随机变量的函数Y?e的密度函数fY?y?。

x?0;e?x,解 fX?x??

其他.0,y?ex的反函数h?y??lny,h??y??fY?y??fX?h?y??h??y??

e?lny0,1，因此所求的Y的密度函数为 y1,lny?0; y

其他,1,y?1;2 = y

其他.0,7. 设X服从??0,1?，证明?X?a服从?a,?2,其中a,?为两个常数且??0。

1?x22e,???x???，记Y??X?a，则当??0时，y??x?a证明 由于X~??0,1?,所以fX?x??2?y?a1,h??y??为单增函数，其反函数h?y??,因此Y的密度函数为????fY?y??fX?h?y??h??y??12?即证明了?X?a~?a,?2。

e1?y?a????2???2?1????12??e??y?a?22?2,???y???，

1,若X?；08. 设随机变量X在区间??1,2?上服从均匀分布，随机变量Y? 0,若X?；0

?1,若X?0.试求随机变量函数Y的分布律。

1?1?x?2;,解 X~R??1,2?，则f?x?? 3

其他.0,011而 P?Y??1??P?X?0???dx?；

?133P?Y?0??P?X?0??0；

212P?Y?1??P?X?0???dx?。

033因此所求分布律为

Y 概率 9. 设二维随机变量?X,Y?的分布律

X\\Y １ ２ -1 0 0 1 1 3１ 2 3３ ２ 1 41 81 4０ 1 8０

11 ０ 88３

求以下随机变量的分布律：（１）X?Y；（２）X?Y；（３）2X；（４）XY。

解 概率 1 111?44 188 ０ ０ 18 8 ０ X,Y? ?1,1? ?1,2? ?1,3? ?2,1? ?2,2? ?2,3? ?3,1? ?3,2? ?3,3? X?Y ２ ３ ４ ３ ４ ５ ４ ５ ６ X?Y ０ -１ -2 1 0 -1 2 1 0 XY 1 2 3 2 4 6 3 6 9 从而得到 （1）

X?Y ２ ３ ４ ５ 概率 13114 8 4 8 （２）

X?Y -２ -1 0 1 2 概率 1 111184 4 4 8

（３）从联合分布律可求得Ｘ的边缘分布律为 Ｘ １ ２ ３ 概率 5118 8 4 由此得2X的分布律为

Ｘ ２ ４ ６ 概率 518 184 （４）

XY 1 2 3 6 概率 134 8 14 18 １０. 设随机变量Ｘ、Ｙ相互独立，X~B???1,1??1?4??,Y~B??1,4??,

（１） 记随机变量Z?X?Y，求Z的分布律； （２） 记随机变量U?2X，求U的分布律。

从而证实：即使Ｘ、Ｙ服从同样的分布，X?Y与2X的分布并不一定相同，直观地解释这一结论。

解（１）由于X~B???1,1?4??,Y~B???1,1??1?4??，且Ｘ与Ｙ独立，由分布可加性知X?Y~B??2,4??，P?Z?k??P?X?Y?k????2???1?k?3?2?k?k?????4????4??,k?0,1,2,经计算有

Z ０ １ ２ 概率 96116 16 16 （２）由于

X ０ １ 概率 1 344 即

因此

U?2X 概率 ０ ２ 1 43 4

易见X?Y与2X的分布并不相同。直观的解释是的X?Y与2X的取值并不相同，这是因为X与Y并不一定同时取同一值，因而导致它们的分布也不同。 １１. 设二维随机变量?X,Y?的联合分布律为

X\\Y １ ２ ３ １ ２ ３ （１） 求U?max?X,Y?的分布律； （２） 求V?min?X,Y?的分布律。

解 （１）随机变量U可能取到的值为１，２，３中的一个，且

1 92 92 9０ ０ ０ 1 92 91 91P?U?1??P?max?X,Y??1??P?X?1,Y?1??;9P?U?2??P?max?X,Y??2??P?X?1,Y?2??P?X?2,Y?1??P?X?2,Y?2?211?0???;993P?U?3??P?max?X,Y??3?综合有

?P?X?1,Y?3??P?X?2,Y?3??P?X?3,Y?1??P?X?3,Y?2??P?X?3,Y?3??0?0?2215???;9999U 概率 １ ２ ３ 1 91 35 9（２）随机变量V可能取到的值为１，２，３中的一个，且 P?V?1??P?min?X,Y??1??P?X?1,Y?1??P?X?1,Y?2??P?X?1,Y?3??P?X?2,Y?1??P?X?3,Y?1?同理可求得1225??0?0???;999911P?V?2??,P?V?3??,综合有

39V 概率 １ ２ ３ １２. 设二维随机变量?X,Y?服从在Ｄ上的均匀分布，其中Ｄ为直线x?0,y?0，x?2,y?2所围成的区域，求X?Y的分布函数及密度函数。

解 ?X,Y?的联合密度函数为

5 91 31 9