北京市2013年朝阳区高三数学一模试题（文理科及详细答案）

又因为AB?AD，PA?AB?而AD?平面AFD，

A，所以AD?平面PAB，

所以平面AFD?平面PAB．????????????????????8分 （Ⅲ）存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直.

在棱PC上显然存在点F,使得AF?PC. 由已知，AB?AD，BC?由平面几何知识可得 CD?AD，AB?BC?1，AD?2． AC．

由（Ⅱ）知，PA?平面ABCD，所以PA?CD， 因为PA?AC?A，所以CD?平面PAC．

而AF?平面PAC，所以CD?AF． 又因为CD?PC?C,所以AF?平面PCD. 在?PAC中，PA?2,AC?2,?PAC?90?，

可求得，PC?6,PF?26． 326．?????14分 3可见直线AF与平面PCD能够垂直，此时线段PF的长为

（18）（本小题满分13分） 解：(Ⅰ)由且

f(x)?x2?(a?2)x?alnx可知，函数定义域为?xx?0?，

aaf?(x)?2x?(a?2)?.由题意，f?(2)?4?(a?2)??1，

x2解得a?2.?????????????????????????????4分

a(2x?a)(x?1)（Ⅱ）f?(x)?2x?(a?2)??(x?0).

xxa 令f?(x)?0，得x1?1，x2?.

2a（1）当a?0时，?0，令f?(x)?0，得x?1;令f?(x)?0，得0?x?1.

2则函数（2）当0?f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,??).

aa?1，即0?a?2时，令f?(x)?0，得0?x?或x?1. 22a则函数f(x)的单调递增区间为(0,)，(1,??).

2 17

令

af?(x)?0，得?x?1.

2af(x)的单调递减区间为(,1).

2则函数（3）当

a?1，即a?2时，f?(x)?0恒成立，则函数f(x)的单调递增区间为(0,??). 2aa（4）当?1，即a?2时，令f?(x)?0，得0?x?1或x?，

22a则函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，(,??).

2a令f?(x)?0，得1?x?.

2a则函数f(x)的单调递减区间为(1,). ??????????????13分

2

（19）（本小题满分14分）

?a2?b2?c2,?3?c解：（Ⅰ）依题得??,解得a2?4，b2?1.

?a2?a?2.?x2?y2?1. ???????????????????4分 所以椭圆C的方程为4（Ⅱ）根据已知可设直线l的方程为y?k(x?1).

由??y?k(x?1),2222得(4k?1)x?8kx?4k?4?0. 22?x?4y?4?08k24k2?4,x1x2?2设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1?x2?. 24k?14k?1直线AE，AF的方程分别为：y?令x?3， 则M(3,y1y(x?2),y?2(x?2)， x1?2x2?2y1y1yy),N(3,2),所以P(3,(1?2)). x1?2x2?22x1?2x2?2kk(x1?1)(x2?2)?k(x2?1)(x1?2) ?4(x1?2)(x2?2)所以k?k?? 18

k22x1x2?3(x1?x2)?4 ??4x1x2?2(x1?x2)?48k2?8?24k2?16k2?42k24k?1 ??244k?4?16k2?16k2?44k2?1k2?41??2??. ????????????????????14分 44k4

（20）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）S(?)??|2xk?110k?3xk?1|?7?6?5?4?3?2?1?0?1?28?57.???3分

（Ⅱ）证明：由

a?b?a?b及其推广可得，

S(?)?2x1?3x2?2x2?3x3???2x10?3x11

?2(x1?x2???x10)?3(x2?x3???x11) x1?x2???x10?10(1?10)?55. ???????????7分 2 =

（Ⅲ）10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍共20个数如下：

20,18,16,14,12,10,8,6,4,2, 30,27,24,21,18,15,12,9,6,3

其中最大数之和与最小数之和的差为203?72?131，所以S(?)?131， 对于?0?(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)，S(?0)?131，

所以S(?)的最大值为131. ????????????????????13分

注：使得S(?)取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求.

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