2020年中考数学一轮复习分专题讲义全套

、

不难得到 x1＋x2＝－bc , x1·x2＝ . 这就是一元二次方程的根与系数关系(也称韦aa达定理).

注：在学习和应用上述定理时要注意以下几点:

① 一元二次方程根与系数的关系揭示了一元二次方程的实根与系数之间的内在联系，在运用时需先将一元二次方程化为标准形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)； ② 运用韦达定理的前提是方程有实数根；

③ 韦达定理不仅可求出方程两实根的和与积,而且可判断两实数根的符号(如两正根；两负根；一正根一负根等)；

b④ 要防止出现x1＋x2＝这样的错误.

a二．掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它解决下列一些问题： 1． 已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；

例如：如果2＋3是方程x2－4x＋c＝0的一个根,不解方程,求方程的另一个根及c的值.

解：设方程的另一个根为x1,根据根与系数关系,得

??x1?(2?3)?4 ???x1?(2?3)?c解之得x1＝2－3,则c＝(2－3)(2＋3)＝1

∴ 方程的另一个根及c的值分别为2－3和1. 2． 会求一元二次方程的有关两根的代数式的值；

例如：设x1、x2是方程2x2＋3x－1＝0的两根,不解方程,求解：∵ x1、x2是方程2x2＋3x－1＝0的两根,

31∴ x1＋x2＝－, x1·x2＝－.

222x2x1x2?x2?x12?x1?则 ＝ x1?1x2?1(x1?1)(x2?1)x2x1?的值. x1?1x2?1313(?)2?2(?)?(?)(x?x2)?2x1x2?(x1?x2)22＝－7 ＝1＝2134x1x2?(x1?x2)?1??(?)?1223．求作一个方程，使它的两根为已知两数，或为已知方程各根的倍数、相反数、负倒数等；

例如：已知方程3x2－2x－4＝0,不解方程，求作一个一元二次方程,使它的一根为

原方程两根和的倒数,另一根为原方程两根差的平方. 解：设原方程的两根为x1、x2 .

2 9

24则：x1＋x2＝，x1·x2 ＝－. (这是原方程根与系数的关系)

33设所求的方程为y2＋py＋q ＝ 0，它的两根为y1、y2。 则p＝－(y1＋y2)，q＝y1·y2 . (设所求方程的二次项系数为1，是为了简化运

算)

由已知,y1＝

13＝ x1?x2252(这是解决问题的关键，用它沟9通了所求方程的根与原方程根之间的联系.)

352131则 p＝－(y1＋y2)＝－(＋ )＝－,

218935226 q＝ y1y2＝·＝,

29326131∴ 所求的方程为y2－y＋＝0.

1832

即 18y－131y＋156＝0.

4． 已知方程两根代数式的值，或两根的关系，求方程的未知系数等等。 例如：已知关于x的方程x2＋(P－1)x＋P＝0的两实根的平方和等于6，求P的值. 解：设方程的两根为x1、x2.

则：x1＋x2＝1－P，x1x2＝P. 又 ∵ x12＋x22＝6 即 (x1＋x2)2－2x1x2＝6 ∴ (1－P)2－2P＝6 ∴ P2－2P＋1－2P＝6 ∴ P2－4P－5＝0 ∴ P1＝5，P2＝－1.

当P＝5时，原方程为x2＋4x＋5＝0，△＝16－20＜0. ∴ 方程无实数根， ∴ 舍去．

当P＝－1时，方程为x2－2x－1＝0，△＞0． 答：当P＝－1时，满足题意．

y2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝

例题选讲

【例1】 已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)中，b＞0,c＜0,则( ).

(A)方程有两个正根 (B)方程有两个负根

(C)方程的两根异号,且正根的绝对值较大 (D)方程的两根异号,且负根的绝对值较大

【例2】 如果2＋3是方程x2－4x＋c＝0的一个根,不解方程,求方程的另一个根及c的值.

10

、

【例3】设x1、x2是方程2x2＋3x－1＝0的两根,不解方程,求

x2x1?的值. x1?1x2?1

【例4】k为何值时,方程x2－(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根,且两根互为倒数.

【例5】已知a、b是方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个实数根,且a2＋b2＝1,求m的值.

【例6】已知a2＋a－1＝0,b2＋b－1＝0(a≠b). 求a2b＋ab2的值.

【例7】已知方程3x2－2x－4＝0,不解方程，求作一个一元二次方程,使它的一根为原方程两根和的倒数,另一根为原方程两根差的平方.

练 习 反 馈

一、选择题

1．如果方程2x2＋kx－6＝0一个根是－3，另一根是x,则（ ）

(A)x1＝1,k＝4 (B)x1＝－1,k＝8 (C)x2＝2,k＝1 (D)x2＝－2,k＝5

11

352.以 和?为根的一元二次方程是（ ）

53(A)15x2＋16x－1＝0 (B) 15x2－16x＋15＝0 (C)15x2＋16x－15＝0 (D) 15x2－16x－15＝0

553.已知一元二次方程的两根之和是，两根的倒数和是?，这个一元二次方程是 ( )

235535 (A）x2－x－＝0 (B) x2－x－＝0

22235535 (C) x2＋x＋＝0 (D) x2＋x－＝0

222334.不解方程，判断x2＋3x＋1＝0根的情况是（ ）

4 （A）有一正根一负根 （B）有两个正根 （C）有两个负根 （D）没有实数根

5．一元二次方程x2－x＋1＝0的根的情况是（ ） (A)两实数根的和等于两实数根的积

(B)两实数根的和与两实数根的积互为相反数 (C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根

6．若方程x2－(k2－7)x＝1的两根之和是2，则实数k的值是（ ） （A）±5 (B)±6 (C) ±3 (D) ±2 二、填空题

7.已知一元二次方程x2－3x＋1＝0的两根为x1、x2,则＝ , (x1－5)·(x2－5)＝ .

8.以2＋3、2－3为两根的一元二次方程是 .

9.已知关于x的方程6x2＋2x＋a＝0的一根比另一根大2,则a＝ .

10.已知关于x的方程4x2－9x＋3(k－1)＝0,当k 时,方程有一根为零,当k 时,方程的两实数根互为倒数. 三、解答题

2911．已知方程2x2＋kx－2k＋1＝0的两实数根的平方和为，求k的值.

4

12．已知方程2x2－6x－1＝0的两根为α、β，不解方程，求作一个一元二次方程，使它

11＋＝ ，x12＋ x22x1x2 12