七（下）数学暑假能力天天练(2)：平行线与相交线

东林教育辅导资料 北师大七年级数学（下）

北师大七年级数学下《暑假数学能力天天练》—平行线与相交线

★★★(I)考点突破★★★

考点1：余角、补角、对顶角

一、考点讲解：

1．余角：如果两个角的和是 ，那么称这两个角互为余角． 2．补角：如果两个角的和是 ，那．么称这两个角互为补角． 3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延

长线，这样的两个角叫做对顶角． 4．互为余角的有关性质： ① ∠1＋∠ 2=90°，则

∠1、∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90． ②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90 ，∠1+∠ 3= 90，

则∠ 2= ∠ 3． 5．互为补角的有关性质：

①若∠A +∠B=180则∠A、∠B互补，反过来，若∠A、∠B互

补，则∠A+∠B＝180．

②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋ ∠C=18 0，∠A+∠B=18

0°，则∠B=∠C．

6．对顶角的性质：对顶角相等． 二、经典考题剖析：

【考题1－1】（厦门）已知：∠A= 30，则∠A的补角是_____度． 解：150 点拨：此题考查了互为补角的性质．

【考题1－2】（青海）如图l－2－1，直线AB，CD相交于点O，

OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠ 1＝1530’，则下列结论中不正确的是（ ） A．∠2 =45 B．∠1=∠3

C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于7530′

解：D 点拨：此题考查了互为余角，互为补角和对顶角之间的综合运用知识．

三、针对性训练：(30 分钟) (答案：220 ) 1．_______的余角相等，_______的补角相等． 2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63，∠3=__ 3．下列说法中正确的是（）

A．两个互补的角中必有一个是钝角 B．一个角的补角一定比这个角大

C．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角 D．相等的角一定互余

1

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○○

4．轮船航行到C处测得小岛A的方向为北偏东32，那么从A

处观测到C处的方向为（ ） A．南偏西32C．南偏西58

○

○

B．东偏南32

○

○

D．东偏南58

○

○

5．若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90则∠1=___，∠2=___．

6．一个角的余角比它的补角的九分之二多1°，求这个角的度数．

7．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=153，∠l= 8．如图 l－2－2，AB⊥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角

有（ ）

A．0个 B．l个 C．2个 D．3个

9．如果一个角的补角是150 ，那么这个角的余角是______

○

○

10．已知∠A和∠B互余，∠A与∠C互补，∠B与∠C的和等

1

于周角的 ，求∠A+∠B+∠C的度数．

3

11．如图如图1-2-3，已知∠AOC与∠B都是直角，∠BOC=59．

（1）求∠AOD的度数；

（2）求∠AOB和∠DOC的度数； （3）∠A OB与∠DOC有何大小关系；

（4）若不知道∠BOC的具体度数，其他条件不变，这种关

系仍然成立吗？

○

考点2：同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质 一、考点讲解：

1．同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行．

2．“三线八角”的识别：三线八角指的是两条直线被第三条直线

所截而成的八个角．正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同，即“同旁”和“同规”；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”． 3．平行线的性质：

（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，

同旁内角互补．

（2）过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行． （3）两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一

条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离. 二、经典考题剖析：

【考题2－1】（2004贵阳，3分）如图1―2―

4，直线a ∥b，则∠A CB＝________ 解：78

○

（3）两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等； （4）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互

相平行。

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3．如果两个角的一边在同一条直线上，另一条边互相平行，那么

这两个角只能（）

A．相等 B．互补C．相等或互补D．相等且互补 4．如图l－2－7。AB∥CD，若∠ABE=130，∠CDE=

152，则∠BED=________

5．对于同一平面内的三条直线a, b, c，总结出下列五个论断：①

a∥b，②b∥c，③a⊥b，④a∥c，⑤a⊥c；以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：________________.

6．如图 l－2－8，AB∥EF∥DC，EG∥BD，则图中与∠1相等

的角共有（ ）

A．6个 B．5个 C．4个 D．2个

7．两条平行线被第三条直线所截，设一对同旁内角的平分线的夹

角为山则下列结论正确的是（ ）

○

○

点拨：过点 C作CD平行于a，因为a∥b，

所以CD∥b．则∠A C D＝2 8，∠DCB=5 0．所以∠ACB＝78．

【考题2－2】（2004、开福，6分） 如图1―2―5，AB∥CD，直

线EF分别交A B、CD于点E、F，EG平分∠B EF，交CD于点G，∠1=5 0求∠2的度数． 解：65

○

○

○

○

○

A、a＞90. B。a＜90.C、a =90

○○

○

.D．以上均错

8．一个角的两边和另一个角的两边分别平行，而一个角比另一个

角的3倍少30.，则这两个角的大小分别是_____________

○

○

点拨：由AB∥CD，

得∠ BEF＝180－∠1=130 ， ∠ BEG=∠2． 又因为EG平分∠BEF，

1

所以∠2=∠BEG= ∠BEF=65°（根据平行线的性质）

2

三、针对性训练：( 40分钟) (答案：220 )

1．如图1－2－6，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角

有（ ）

A．l个 B．2个 C．3个 D．4个

○

9．如图 1－2－9，AB∥CD∥PN，若∠ABC＝50°，∠CPN＝150

○

，求∠BCP的度数．

10．如图1－2－10，一条公路两次拐弯后和原来的方向相同，即

拐弯前后的两条路互相平行，第一次拐的角为∠B=150，则第二次拐的角∠C为多少度？为什么？

○

2．下列说法中正确的个数是（ ）

（1）在同一平面内不相交的两条直线必平行；

（2）在同一平面内不平行的两条直线必相交；

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二、经典考题剖析：

【考题3－1】一学员在广场上练习驾驶汽车，若其两次拐弯后仍沿原方向前进，则两次拐弯的角度可能是（ ） A．第一次向左拐30，第二次向右拐 30 B．第一次向右拐30，第二次向左拐130 C．第一次向右拐50，第二次向右拐130 D．第一次向左拐50．第二次向左拐130

解：A 点拨：本题创设了一个真实的问题。要使经过两次拐弯后．汽车行驶的方向与原来的方向相同．就得保证原来，现在的行驶方向是两条平行线且方向一致．本题旨在考查平行线的判定与空间观念。解题时可根据选项中两次拐弯的角度画出汽车行驶的方向，再判定其是否相同，应选A．

【考题3－2】如图l－2－14，已知B D⊥AC，EF⊥AC，D、F

○

○

○

○

○

○

○

○

11．如图1－2－11 所示，若以DC、AB为两条直线，这两条直

线被第三条直线所截，那么第三条直线有几种可能？都出现什么角？分别写出来．

12．如图1－2－12所示，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中，

∠APC与∠PAB，∠PCD的关系，请你从所得的4个关系中任意选取一个加以证明．

13．如图1－2－13，已知直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、

P为直线m上两点．

（1）请写出图1－2－13 中面积相等的各对三角形； _____________________________________.

（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论P

点移动到任何位置，总有______与ΔABC的面积相等．理由是______________.

为垂足，G是AB上一点，且∠l=∠2．求证：∠AGD=∠ABC． 证明：因为BD⊥AC，EF⊥AC．所以BD∥EF．所以∠3=∠1．因为∠1=∠2，所以∠2=∠3．所以 GD∥BC．所以∠AGD=∠ABC．

点拨：审题时，根据分析，只看相关线段

组成的图形而不考虑其他部分，这样就能避免图形的其他部分干扰思路．

三、针对性训练：( 30分钟) (答案：221 )

l． 已知：如图l－2－15，下列条件中，不能判定是直线l1∥l的是（ ）

A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180

2．如图l－2－16，直线AD与AB、CD相交于 A、D两点，EC、

BF与AB、CD交于点E、C、B、F，且∠l=∠2，∠B=∠C，求证：∠A=∠D．

○

2

考点3：平行线的判定

一、考点讲解：

1．平行线的定义：在同一平面内．不相交的两条直线是平行线． 2．如果两条直线都与第三条直线平行，那么．这两条直线互相平

行．

3．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直

线平行；如果内错角相等．那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角． 4．常见的几种两条直线平行的结论：

（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行． （2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相

平行．

3．一个人从A点出发向北偏东60°方向走了4米到B点，再从B点向南偏西15°方向走了3米到C点，那么∠ABC等于（ ） A．75

○

B．45

○

C．105

○

D．135

○

4．如图l－2－17，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠

EFG=54，试求∠DEG和∠BGD′的大小．

3

○

○

○

5．如图1－2－18，∠B=52，∠DCG=128，∠FGK=54°，问

直线AB与EK及BD与FH的关系如何？请证明之．

★★★(II)自我检测★★★

(19分，10分钟)

【回顾1】（金华如图1－2－22，直线a、b被直线l所截，a∥b，如果∠1=50，那么∠2=____．

○

【回顾2】（杭州）在图l－2－23的几何体中，上下底面都是平行

6．已知：如图l－2－19，CD⊥AB于D，E是BC上一点，EF

⊥AB于F．∠l=∠2．求证：∠AGD=∠ACB．

7．如图l－2－20，直线AB、CD是二条河的两岸，并且AB∥

CD．点E为直线AB、CD外一点．现想过点E作岸CD的平行线．只需过点E作岸AB的平行线即可．其理由是什么？

8．如图l－2－21，要判定AB∥CD，AD∥BC，AE∥ CF，各需

要哪些条件？根据是什么？

◆ 以鲜明的教育理念启发人◆ 以浓厚的学习氛围影响人 4四边形，各个侧面都是梯形，那么图中和下底面平行的直线有（ ）

A．1条 B．2条 C．4条 D．8条

3】（河南）如图1－2－24，已知 AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，∠l＝70°，则∠2的度数是_________ 4】（2005、杭州，3分）“如果两条平行线被第三条直线所

截得的八个角中．有一个角的度数已知，则（ ）” A．只能求出其余三个角的度数 B．只能求出其余五个角的度数 C．只能求出其余六个角的度数 D．可以求出其余七个角的度数

5】（福州）如图1－2－25，两条直线a、b被第三条直线c所截，如果a∥b，∠1=70○

，那么∠2=________． 6】（黄冈）如图1－2－26，已知AB⊥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠l=50○

，则∠2的度数为（ ） A．50

○

B．60

○

C．65

○

D．70○

7】（烟台）如图l－2－27，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过；如果第一次拐的角∠A是120○

，第二次拐的角∠B是150○

第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是（ ） A．120○

B．130

○

C．140

○

D．150○

★★★(III)课外作业★★★ 一)选择题(每小题 分，共 分)

1】已知两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的3倍多36o，则这两个角的度数是（ ）

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