2020版高考数学大二轮复习3.2三角函数的图象与性质学案(理)

1．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的解析式的方法

已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求

解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 2．[警示] 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.

『对接训练』

π?π?3．[2019·河南洛阳一中月考]设函数f(x)＝sin(2x＋φ)?|φ|

解析：通解 f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移

π

个单位长度后得到函数g(x)＝3

2π2π2π??????sin?2x＋＋φ?的图象，∵g(x)＝sin?2x＋＋φ?是偶函数，∴sin?φ＋?＝±1，∴φ333??????πππ

＝kπ－(k∈Z)，∵|φ|<，∴φ＝－.

626

π?π?优解 ∵函数f(x)＝sin(2x＋φ)?|φ|

2?3?2π?π?对应的函数是一个偶函数，∴f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，∴sin?φ＋?3?3?πππ

＝±1，∴φ＝kπ－(k∈Z)，∵|φ|<，∴φ＝－.

626

π

答案：－ 6

π??4．[2019·成都检测]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?A>0，ω>0，|φ|

如图所示．现将函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则

4函数g(x)的解析式为( )

- 5 -

π?3π???A．g(x)＝2sin?2x＋? B．g(x)＝2sin?2x＋? 4?4???π??C．g(x)＝2cos2x D．g(x)＝2sin?2x－?

4??解析：由图象，知A＝2，T＝4×?入f(x)＝2sin(2x＋φ)得sin?

?5π－3π?＝π，所以ω＝2π＝2，将点?5π，－2?代

?8?8?T?8???

?5π＋φ?＝－1，即5π＋φ＝2kπ＋3π(k∈Z)，结合|φ|<π，?422?4?

π?π?π??π??得φ＝，所以f(x)＝2sin?2x＋?，所以g(x)＝f?x－?＝2sin?2x－?，故选D. 4?4?4?4???

答案：D

考点3 三角函数的性质

1．三角函数的单调区间

ππ??y＝sinx的单调递增区间是?2kπ－，2kπ＋?(k∈Z)，单调递减区间是

?

2

2?

?2kπ＋π，2kπ＋3π?(k∈Z)；

?22???

y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋

π](k∈Z)；

ππ??y＝tanx的递增区间是?kπ－，kπ＋?(k∈Z)．

?

2

2?

2．三角函数的奇偶性与对称性

y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；

π

当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；

2

π

对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．

2

y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；

当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；

- 6 -

π2

对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．

y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．

π?ππ?[例3] (1)[2019·全国卷Ⅱ]下列函数中，以为周期且在区间?，?单调递增的是2?42?( )

A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x| C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|

(2)[2019·全国卷Ⅰ]关于函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论：

?π?①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间?，π?单调递增 ③f(x)在[－π，π]有4个零点

?2?

④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是( ) A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

【解析】 (1)本题主要考查三角函数的图象与性质，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．

π?ππ??π?A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈?，?时，2x∈?，π?，函数f(x)

2?42??2?π?ππ?2x∈?π，π?，

单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈?，?时，?2?2?42???函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故C不正

??sin x，x≥0，确；D中，f(x)＝sin|x|＝?

?－sin x，x<0，?

由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)

均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.

(2)本题主要考查三角函数的图象与性质(单调性、奇偶性、最值)，函数零点，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．

f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；

π?π?当

2?2?在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C.

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【答案】 (1)A (2)C

1. 三角函数的单调性、周期性及最值的求法

(1)三角函数单调性的求法：

求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间的一般思路是令ωx＋φ＝z，则y＝Asinz(或y＝Acosz)，然后由复合函数的单调性求得．

(2)三角函数周期性的求法：

2π函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝.应特别注意y＝

|ω|

π

|Asin(ωx＋φ)|的周期为T＝.

|ω|

(3)三角函数值域的求法：

在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f(x)的

最值．

2．[警示] 求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间.

『对接训练』

5．[2019·武昌区调研考试]已知函数f(x)＝3sin ωx－cos ωx(ω>0)的最小正周期为2π，则f(x)的单调递增区间是( )

ππ?A.?2kπ－，2kπ＋66?

π2π?B.?2kπ－，2kπ＋33?

2ππ?C.?2kπ－，2kπ＋33?

π5π?D.?2kπ－，2kπ＋66?

](k∈Z)

](k∈Z)

](k∈Z)

](k∈Z)

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