2020版高考数学大二轮复习3.2三角函数的图象与性质学案（理）

第2讲 三角函数的图象与性质

考点1 三角函数的定义、诱导公式及基本关系

1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

sinα22

2．同角关系：sinα＋cosα＝1，＝tanα.

cosα3．诱导公式：在

yxkπ

2

＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．

[例1] (1)[2018·全国卷Ⅰ]已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，2

终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝( )

3

15A. B. 55C.

25

D．1 5

(2)[2019·山东潍坊一中月考]化简1＋2sin?π－2?cos?π－2?得( ) A．sin 2＋cos 2 B．cos 2－sin 2 C．sin 2－cos 2 D．±cos 2－sin 2

2222

【解析】 (1)由cos 2α＝，得cosα－sinα＝，

33cosα－sinα21－tanα2

∴ 2＝，即＝， 22

cosα＋sinα31＋tanα3∴ tan α＝±∴ |a－b|＝故选B.

(2)1＋2sin?π－2?cos?π－2?＝1－2sin2cos 2 ＝sin2＋cos2－2sin 2cos 2＝?sin 2－cos 2? π

＝|sin 2－cos 2|，又<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0，

2∴1＋2sin?π－2?cos?π－2?＝sin 2－cos 2，故选C. 【答案】 (1)B (2)C

- 1 -

2

2

2

2

2

2

5b－a5，即＝±， 52－15

5. 5

应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项

(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定

义就会出现错误．

(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.

『对接训练』

1．[2019·湖北稳派教育检测]若一个扇形的面积是2π，半径是23，则这个扇形的圆心角为( )

A.C.

ππ B. 64ππ D. 23

1

解析：设扇形的半径为r，圆心角为θ，则扇形的面积S＝lr，其中弧长l＝θr，则S2122S4ππ＝θr，所以θ＝2＝＝，故选D. 2r?23?23

答案：D

1

2．[2019·河北行唐月考]已知tan x＝，则sin xcos x＝( )

3A.C.

310 B. 10533 D. 105

1sin x1解析：通解 ∵tan x＝，∴＝，即cos x＝3sin x，又sin2x＋cos2x＝1，∴sin2x3cos x31103103

＝.①当x为第一象限角时，sin x＝，cos x＝，∴sin xcos x＝；②当x为第10101010三象限角时，sin x＝－故选C.

1sin x1222

优解一 ∵tan x＝，∴＝，即cos x＝3 sin x，又sinx＋cosx＝1，∴sinx3cos x316

－1

116sinx－11022

＝，又1＋2sin xcos x＝(sin x＋cos x)＝16sinx，∴sin x·cos x＝＝1022

2

1031033

，cos x＝－，∴sin xcos x＝.由①②得sin xcos x＝，10101010

- 2 -

3

＝，故选C. 10

1

优解二 ∵tan x＝>0，∴sin x与cos x同号，∴sin xcos x>0，不妨设x是第一象限

3角，且角x终边上一点的坐标为(3,1)，∴sin x＝故选C.

sin xcos xtan x1

，且tan x＝，∴sin xcos x＝＝22＝2

sinx＋cosxtanx＋131

＋19

13

103103，cos x＝，∴sin xcos x＝，101010

优解三 ∵sin xcos x＝

3

，故选C. 10

答案：C

考点2 三角函数的图象与解析式

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图

π3π

设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线

22可得．

(2)图象变换

y＝sinx向左?φ>0?或向右?φ<0?

――――――――→平移|φ|个单位

y＝sin(x＋

φ)

纵坐标变为原来的A?A>0?倍

―――――――→y＝Asin(ωx＋φ)． 横坐标不变

y＝sin(ωx＋φ)

[例2] (1)[2019·辽宁辽阳期末]已知函数f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)与g(x)＝cos

2

Aωx的部分图象如图所示，则( )

- 3 -

3

A．A＝1，ω＝

ππ

B．A＝2，ω＝

3π

C．A＝1，ω＝

33

D．A＝2，ω＝

π

π??(2)[2019·山西平遥二中月考]为了得到函数y＝sin?2x－?的图象，只需把函数y＝cos 3??2x的图象上所有的点( )

5π

A．向左平行移动个单位长度

125π

B．向右平行移动个单位长度

125π

C．向左平行移动个单位长度

65π

D．向右平行移动个单位长度

6

A2ππ

【解析】 (1)由已知图象，可知＝1，T＝＝1.5×4＝6，所以A＝2，ω＝.故选

2ω3

B.

π?π???5π?π???(2)通解 ∵y＝cos 2x＝sin?2x＋?，函数y＝sin?2x－?＝sin?2?x－?＋?，∴

12?2?2?3?????只需把函数y＝cos 2x的图象上所有的点向右平行移动π??sin?2x－?的图象，故选B.

3??

π?ππ?5π?????5π?优解 ∵y＝sin?2x－?＝cos?2x－－?＝cos?2x－?＝cos 2?x－?，∴只需把

3?32?6?12?????π?5π?函数y＝cos 2x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度就得到函数y＝sin?2x－?的

3?12?图象，故选B.

【答案】 (1)B (2)B

- 4 -

5π

个单位长度就得到函数y＝12