2011清华大学自主招生试题数学

tan?BEF?tan?EBC?2，?AEB??AEF??BEF?2?AEF， 2tan?AEB?tan2?AEF?22，答案A

解：S?BDF?DFBDS?BDE?zS?BDE，S?BDE?S?ABE?(1?x)S?ABE， DEABDFS?ABE?AES?ABC?yS?ABC，于是S?BAC?(1?x)y??zSABC?2(1。x将yzy?z?x?1，变形为y?z?x?1，暂时将x看成常数，欲使yz取得最大值必须

x?1112，于是S?BDF?(1?x)(x?1)，解这个一元函数的极值问题，x?时22316取极大值。

27y?z?(10) 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不

相交，则（ ）

A 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形 B 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形 C 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形 D 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形

解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。如图，假设ΔABC是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF(不妨设在AC的另一边)的(其中的边EF有可能与AC重合)的∠D一定是钝角。事实上，∠D ≥ ∠ADC，而四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ADC = 180°-∠B，所以∠D为钝角。这样就排除了B，C。

A E B D C F

下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。

A B D C

假设ΔABC中∠B是钝角，在AC的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC的另一侧的相邻(指有公共边AC) ΔACD，则∠D = 180°-∠B是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。所以答案是D。 二、解答题

解：（I）tanC??tan(A?B)?tanA?tanB，整理得

tanAtanB?1tanAtanBtanC?tanA?tanB?tanC

（II）由已知3tanAtanC?tanA?tanB?tanC，与（I）比较知tanB?3，B=又

?3。

11224????sin2Asin2Csin2Bsin2?33，

sin2A?sin2C4?sin2Asin2C3，

sin(A?C)cos(A?C)13?，而sin(A?C)?sinB?，

cos2(A?C)?cos2(A?C)23cos2(A?C)?cos2B??21，代入得2cos2(A?C)?1?3cos(A?C)， 21A?C6?1， ，cos424? 4cos(A?C)?3cos(A?C)?1?0，cos(A?C)?1，

（12）已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处。

（I）若b = 3a，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （II）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ 解：不妨设水杯高为1。

（I）这时，水杯质量 ：水的质量 = 2 ：3。水杯的重心位置（我们用位置指到水

杯底面的距离）为

11，水的重心位置为，所以装入半杯水的水杯的重心位置为24112??3?24?7 2?320(II) 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上。设装x克水。这时，水杯质量 ：水的质量 = a ：x。水杯的重心位置为

1x，水的重心位置为，水面22b1xa??x?x2b?x，解得x?a2?ab?a 位置为，于是2ba?xb

（13）已知函数f(x)?2x121，f(1)?1，f()?。令x1?，xn?1?f(xn)。 ax?b232(I)求数列{xn}的通项公式；

1。 2e122x解：由f(1)?1，f()?得a?b?1，f(x)?

23x?1(II)证明x1x2?xn?1?12482n?1(I)先求出x1?，x2?，x3?，x4?，猜想xn?n?1。用数学归纳法

23592?12k?1证明。当n = 1显然成立；假设n = k显然成立，即xk?k?1，则

2?12xk2k，得证。 xk?1?f(xk)??xk?12k?1(II) 我们证明

1?2e。事实上，

x1x2?xn?11111?2(1?)(1?)?(1?n)。我们注意到

x1x2?xn?12421?2a?(1?a)2，?，1?2na?(1?a)2，于是

11n?11n1n?2(1?n)2???2?1?2(1?n)2?1?2(1?n)2?2e

x1x2?xn?1222

nx2y2（14）已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0),F1,F2分别为C的左右焦点。P为C右

ab支上一点，且使?F1PF2=?3,又?F1PF2的面积为33a2。

（I）求C的离心率e ； (II)设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得?QF2A???QAF2恒成立。若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。

P F E 2a F1 P 2c x F2

解：如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔP F1 F2中，

?F1PF，?FF332，aE为PF1上一点，PE = PF2，E F1 =2a，2=1P的面积为23cF1 F2 = 2c，求。

a设PE = PF2 = EF2 = x，F F2 =

?3x， 2S?F1PF2?113x?2a。x2?4ax?12a2?0， PF1?FF2?(x?2a)x?33a2 ，

2222?c，于是2c?23a，e??3。 3aΔE F1 F2为等腰三角形，?EF1F2?(II)

（15）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率。 （I）求p1，p2，p3，p4；

(II)探究数列{ pn}的递推公式，并给出证明；

(III)讨论数列{ pn}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。