华师大版九年级数学上册知识总结

第22章 二次根式 1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。 2.二次根式有意义的条件：被开方数a≥0 3. 二次根式的性质：

a（a＞0）

0 （a=0）；

2

（1）（a）=a （a≥0）； （2）a2?a?

?a（a＜0）

4．二次根式的乘法---------a?b?ab(a?0,b?0)

5．二次根式的除法---------

ab?a(a?0,b?0) b6．最简二次根式：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 7．同类二次根式--------化成最简二次根式后，被开方数相同。

8.二次根式的加减--------先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。 9.分母有理化：把分母中的根号化去。 ①

a的有理化因式是a； ②a+b的有理化因式是a-b。

第23章 一元二次方程 1． 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。 2.一般形式：ax?bx?c?0(a,b,c是已知数，a?0)。 其中a,b,c分别叫做二次项的系数，一次项的系数，常数项。

3. 一元二次方程的解---------- 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 4.一元二次方程的解法

（1）直接开平方法-----------若x?a?a?0?，则x??a

22（2）配方法-----步骤：①把常数项移到方程的右边；②把二次项的系数化为1；③方程两边同时 加上1次项的系数的一半的平方，配成完全平方公式；④直接开平方。

?b?b2?4ac2(b?4ac?0) （3）公式法-------求根公式：x?2a2步骤：①把方程化为ax?bx?c?0?a?0?的形式，确定的值a,b.c（注意符号）；②求出b?4ac的值；③若

2b2?4ac?0，则a,b.把及b2?4ac的值代入求根公式，求出x1,x2。

（4）因式分解法-----------要求方程右边必须是0，左边能分解因式。

注意：形如“

x2??a?b?x?ab?0?a,b为常数?可将左边分解因式，方程变形为?x?a??x?b??0，则

x?a?0或x?b?0，即x1??a,x2??b。

5.一元二次方程根的判别式-----------------△=b?4ac ①△=b?4ac﹥0?方程有两个不相等的实数根； ②△=b?4ac=0?方程有两个相等的实数根；

222③△=b?4ac﹤0?方程没有实数根。

注意：逆用根的判别式求未知数的值或取值范围，不能忽略二次项系数不为0这一条件。 6. 一元二次方程的根与系数的关系

若x1,x2是一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的两个根，则有x1?x2??22cb， x1x2?

aa

常用变形：①x1?x2??x1?x2?222x?x211?2x1x2 ②? ?1x1x2x1x27.一元二次方程的应用

知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤

① 审题 ②设未知数 ③列方程 ④解方程 ⑤检验 ⑥作答。关键点：找出题中的等量关系。 知识点二 增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：

（1）若基数为a，增长率x为，则一次增长后的值为a?1?x?，两次增长后的值为a?1?x?；

2（2）若基数为a，降低率x为，则一次降低后的值为a?1?x?，两次降低后的值为a?1?x?。

2知识点三 与市场经济有关的问题----------如：营销问题、水电问题等，常用关系式有：

（1）每件利润=销售价-成本价； （2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%； （3）销售额=售价×销售量； （4）总利润=单个利润×销售数量 第24章 图形的相似 1.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段。（注意：线段单位要统一）

ac?（或a：bdac??ad?bcbd2.比例性质的基本性质: （两外项的积等于两内项积）

3.黄金分割：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果

ACBC，即AC2=AB×BC，那?ABAC么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。其中AC?0.618AB。

5?1AB≈24.相似三角形：两个三角形中，如果三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。 如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。

5.相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

通常用k来表示。相似比具有顺序性．

6. 相似三角形的性质

①相似三角形对应角相等、对应边成比例.

②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比。 ③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方. 7.三角形相似的判定定理：

（1）平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （2）两角对应相等，两三角形相似．

（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． （4）三边对应成比例，两三角形相似．

（5）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

射影定理：CD2=AD·BD， AC2=AD·AB，BC2=BD·BA 8.六种相似基本模型：

ADDBDE∥BC

ADBAECB∠B?∠AED

ECC

∠B?∠ACD

DOABCOCA

BADBDC

AC∥BD

X型 ∠B?∠C 母子型

AD是Rt△ABC斜边上的高

9.中位线

①三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段。（3条） ②三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

③重心：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.

④重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍. ⑤梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段。

⑥梯形的中位线平行于两底边，且等于两底和的一半 ⑦梯形的面积=中位线╳高=

1（上底+下底）╳高 210.位似（1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

（2）性质：①位似图形的对应边平行或共线。②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 11.图形的变换与坐标

①轴对称：图形关于x轴对称，横不变，纵为相反数；关于y轴对称，纵不变，横为相反数。 ②中心对称：图形关于原点对称，横纵皆为相反数。 ③平移：横坐标右加左减，纵坐标上加下减。

④位似：以原点为位似中心，位似比为K进行变换，P（a，ｂ）变换后为(ka,kb)或(-ka,-kb)。

第25章 解直角三角形 1.在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：

定 义 表达式 取值范围 关 系 正?A的对边a0?sinA?1 sinA? sinA?c弦 (∠A为锐角) 斜边余cosA?弦 ?A的邻边斜边 cosA?bcab0?cosA?1 (∠A为锐角) sinA?cosB cosA?sinB sin2A?cos2A?1 tanA?cotB cotA?tanB 1(倒数) tanA?cotA tanA?cotA?1 tanA??A的对边正tanA??A的邻边切 tanA?0 (∠A为锐角) bcotA??A的邻边余cotA? a切 ?A的对边 cotA?0 (∠A为锐角) 2.特殊角的三角函数值(重要)

三角函数 0° 0 10 不存在 30° 1 245° 222260° 3 21 290° 1 0不存在 0sin? cos? 3 23 3tan? cot? 1 1 3 3 33 3.解直角三角形：已知边和角→所有未知的边和角。 只有两种情况：（1）已知两条边（2）已知一条边和一个锐角

4.应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

铅垂线仰角俯角视线水平线h

i?h:llα视线(2)坡角：坡面与水平面的夹角。记作?。 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比。用字母i表示，即i?h?tan?。l一般写成1:m的形式。

随机事件的概率

1. 概率

（1）表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率． P(所关注的事件)=所关注的结果/所有等可能的结果． 2. 概率的预测

（1）要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果． （2）要清楚所有机会的结果．

（1）、（2）两个结果个数之比就是关注的结果发生的概率． 方法：画树状图、列表法．