一 平面向量基本概念及线性运算

→＝AF→ A.AE→＝CD→ B.EF→＝BD→ C.EF→＝DC→ D.DB

→与向量BD→方向相同，且模相等， 解析：∵向量EF→＝BD→. ∴EF答案：C

5．(2015·课标全国Ⅱ卷)设向量ɑ，b不平行，向量λɑ＋b与ɑ＋2b平行，则实数λ＝________．

解析：∵λɑ＋b与ɑ＋2b平行，∴λɑ＋b＝t(ɑ＋2b)，

??λ＝t，则λɑ＋b＝tɑ＋2tb，∴?

?1＝2t.?

1

解得λ＝t＝.

21

答案： 2

一条规律

一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指

向最后一个向量终点的向量．

三个结论

1→→1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋2→)． OB

→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋2.OAμ＝1.

→＋PB→＋PC→＝0?3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则PAP为△ABC的重心．

三个防范

1．向量共线的充要条件中要注意“ɑ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．

2．进行向量减法运算时，一定将向量平移至同一起点． 3．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

一、选择题

1．把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是( )

A．一条线段 B．一段圆弧 C．两个孤立点 D．一个圆

解析：由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平

移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点的距离都等于1，所有的终点构成的图形是一个圆．

答案：D

ɑb

2．设ɑ、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充|ɑ||b|分条件是( )

A．ɑ＝－b B．ɑ∥b

C．ɑ＝2b D．ɑ∥b且|ɑ|＝|b|

ɑb

解析：表示与ɑ同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，

|b||ɑ|ɑb

只要ɑ与b同向，就有＝，观察选项易知C满足题意．

|ɑ||b|

答案：C

3．(2015·佛山一中期中考试)如下图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB、AD分别交于E、F两点，且交其对角线AC于K，→＝2AB→，AF→＝1AD→，AK→＝λAC→，则λ的值为( ) 其中，AE

52

22

A. B. 9722C. D. 53

→＝2AB→，AF→＝1AD→， 解析：∵AE

525→→→→， 则AB＝AE，AD＝2AF

2

?5→?5→→→→→→→→??＝AE＋2AF∵AC＝AB＋AD，∴AK＝λAC＝λ(AB＋AD)＝λ2??2

→＋2λAF→， λAE

52

由E，F，K三点共线可得，λ＋2λ＝1，解得λ＝.

29答案：A

→＋BA→＝2BP→，4．设P是△ABC所在平面内的一点，BC则( ) →＋PB→＝0 B.PB→＋PC→＝0 A.PA

→＋PA→＝0 D.PA→＋PB→＋PC→＝0 C.PC

→与BC→的和向量过解析：由向量加法的平行四边形法则易知，BA

AC边中点，长度是AC边中线长的2倍．结合已知条件可知P为→＋PC→＝0. AC边中点，做PA

答案：C

5．设ɑ是已知的平面向量且ɑ≠0.关于向量ɑ的分解，有如下四个命题：

①给定向量b，总存在向量c，使ɑ＝b＋c；

②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使ɑ＝λb＋μc； ③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使ɑ＝λb＋μc；

④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使ɑ＝λb