2020版高考数学第九章平面解析几何高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题(第1课时)范围、最值问题教案

由(1)及①可得，

→→

PA·PB＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2) ＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2 ＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2 ＝n－4m－2n＋1－4n ＝n－4m－6n＋1＝4－4n， →→

∴PA·PB≤－8，

→→

即PA·PB的取值范围是(－∞，－8]．

2

2

2

2

x2y22

12.(2018·南昌测试)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一个顶点坐标为B1(0，2)，离心率为. ab2

(1)求椭圆的方程；

1??(2)如图，点P?－1，?是该椭圆内一点，四边形ABCD(AB∥CD)的对角线AC和BD交于点P，

2??232

设直线AB：y＝x＋m，记g(m)＝S△PAB，求f(m)＝g(m)－m＋4m－3的最大值．

3解 (1)顶点坐标为B1(0，2)，b＝2，＝椭圆方程为＋＝1.

42

??y＝x＋m，

(2)联立lAB与椭圆方程?22

??x＋2y－4＝0，

2

ca2， 2

x2y2

整理得3x＋4mx＋2m－4＝0，

22

Δ＝48－8m2>0，即m2<6，

13

1?3?又直线AB不过点P?－1，?，得m≠. 2?2?设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

－4m2m－448－8mx1＋x2＝，x1x2＝，|x1－x2|＝，

333设点P到直线AB的距离为d， 1

g(m)＝d2|AB|2＝·44

2

2

?m－3?2

??1?2?

2

48－8m·2· 9

2

92432

－2m＋6m＋12m－m－36m＋27

2

＝，

91524

－2m＋m2

f(m)＝ 9＝

111?15?22515252?2?152

·2m?－2m?≤·??＝(当且仅当m＝时取等号)，所以f(m)max＝，此18832?2?184?2?32

3??330??∈?－6，?∪?，6?.

2??24??

时m＝ ±

x2y2

13．已知双曲线Γ：2－2＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两

ab点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为2，则( )

?π?A．θ∈?0，?

2??

C．θ∈?

π

B．θ＝

23π

D．θ＝

4

?3π，π?

?

?4?

14

答案 B

解析 ∵e＝＝2，∴c＝2a，∴b＝c－a＝a，

∴双曲线方程可变形为x－y＝a.设B(x0，y0)，由对称性可知C(－x0，y0)，∵点B(x0，y0)在双曲线上，∴x0－y0＝a.

→→→→22

∵A(a,0)，∴AB＝(x0－a，y0)，AC＝(－x0－a，y0)，∴AB·AC＝(x0－a)·(－x0－a)＋y0＝aπ→→22

－x0＋y0＝0，∴AB⊥AC，即θ＝.故选B.

2

→→

14．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP98的最小值为__________． 答案 6

解析 点P为椭圆＋＝1上的任意一点，

98设P(x，y)(－3≤x≤3，－22≤y≤22)， 由题意得左焦点F(－1,0)， →→

∴OP＝(x，y)，FP＝(x＋1，y)， 72－8x→→22

∴OP·FP＝x(x＋1)＋y＝x＋x＋ 91?9?223＝·?x＋?＋. 9?2?4

3915∵－3≤x≤3，∴≤x＋≤，

2229?9?2225

∴≤?x＋?≤， 4?2?411?9?225∴≤?x＋?≤， 49?2?41?9?223

∴6≤·?x＋?＋≤12，

9?2?4→→

即6≤OP·FP≤12.故最小值为6.

2

2

2

22

2

2

ca2222

x2y2

x2y2

15

15．如图，由抛物线y＝12x与圆E：(x－3)＋y＝16的实线部分构成图形Ω，过点P(3,0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为( )

2

2

2

A．[4,5] B．[7,8] C．[6,7]D．[5,6] 答案 B

解析 由题意可知抛物线y＝12x的焦点为F(3,0)，圆(x－3)＋y＝16的圆心为E(3,0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|＝4，设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|＝x0＋3，

??y＝12x，由?22

??x－3?＋y＝16?

2

2

2

2

x2

得(x－3)＋12x＝16，整理得x＋6x－7＝0，解得x1＝1，x2＝－7(舍

22

去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xC＝xD＝1，因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝4＋x0＋3＝x0＋7，所以|AB|＝x0＋7∈[7,8]，故选B.

y2x2y216．已知椭圆C1：－＝1与双曲线C2：＋＝1有相同的焦点，求椭圆C1的离心率e1

m＋4nmn 16