2020版高考数学第九章平面解析几何高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题(第1课时)范围、最值问题教案

第1课时 范围、最值问题

题型一 范围问题

x2y2x22

例1 (2018·开封质检)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)与双曲线－y＝1的离心率互为倒数，

ab3

且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点． (1)求椭圆C的标准方程；

(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围． 解 (1)∵双曲线的离心率为∴椭圆的离心率e＝＝23， 3

ca3. 2

又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为点(2,0)，即a＝2，c＝3，b＝1， ∴椭圆方程为＋y＝1.

4

(2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，

x2

2

y＝kx＋m，??2

M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立?x2

＋y＝1，??4

2

2

2

消去y，并整理得(1＋4k)x＋8kmx＋4(m－1)＝0， 8km4?m－1?

则x1＋x2＝－2，x1x2＝2，

1＋4k1＋4k2

1

于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝kx1x2＋km(x1＋x2)＋m.

又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，

2

2

y1y2k2x1x2＋km?x1＋x2?＋m22故·＝＝k， x1x2x1x2

8km2则－2＋m＝0.

1＋4k112

由m≠0得k＝，解得k＝±. 42又由Δ＝64km－16(1＋4k)(m－1) ＝16(4k－m＋1)>0，得0

显然m≠1(否则x1x2＝0，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)．

设原点O到直线的距离为d， 1

则S△OMN＝|MN|d

2

1|m|2

＝·1＋k·|x1－x2|· 221＋k1222

＝|m|?x1＋x2?－4x1x2＝－?m－1?＋1. 2

故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1)． 思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

跟踪训练1(2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

2

22

2

2

22

2

2

22

2

(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

(2)若P是半椭圆x2

＋y2

4

＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．(1)证明 设P(x0，y0)，A??12?4y1，y1???，B??12?4y2，y2???

. 因为PA，PB的中点在抛物线上， 1所以yy＋y4y2

＋x01，y2为方程??0?2??2?＝4·2， 即y2

－2y2

0y＋8x0－y0＝0的两个不同的实根． 所以y1＋y2＝2y0， 所以PM垂直于y轴．

(2)解 由(1)可知???y1＋y2＝2y0，??

y＝8x2

1y20－y0，

所以|PM|＝18(y22－x32

1＋y2)0＝4y0－3x0，

|y1－y2|＝22?y2

0－4x0?. 所以△PAB的面积

323S＝1

△PAB22|PM|·|y1－y2|＝

y0?4x024??.

因为x2

＋y20

0

4

＝1(－1≤x0<0)，

所以y2

2

0－4x0＝－4x0－4x0＋4∈[4,5]， 所以△PAB面积的取值范围是?

?1510??

62，4??.

3

题型二 最值问题

命题点1 利用三角函数有界性求最值

例2过抛物线y＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是( ) A．2 C．4 答案 C

解析 设直线AB的倾斜角为θ， 可得|AF|＝

22

，|BF|＝，

1－cosθ1＋cosθ224

×＝≥4. 21－cosθ1＋cosθsinθB.2 D．22

2

则|AF|·|BF|＝

命题点2 数形结合利用几何性质求最值

例3在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x－y＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________． 答案

2 2

2

2

2

2

解析 双曲线x－y＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线间的距离d＝2＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得22

21＋?－1?|1－0|

c≤22

，故c的最大值为. 22

命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值

例4已知点P是圆O：x＋y＝1上任意一点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，延长QP到点M，使→→QP＝PM.

(1)求点M的轨迹E的方程；

(2)过点C(m,0)作圆O的切线l，交(1)中的曲线E于A，B两点，求△AOB面积的最大值． →→

解 (1)设M(x，y)，∵QP＝PM，

2

2

??∴P为QM的中点，又有PQ⊥y轴，∴P?，y?， ?2?

∵点P是圆O：x＋y＝1上的点，∴??＋y＝1，

?2?

2

2

x?x?2

2

4