第14讲 函数的对称性和周期性（艺考生专用）

梅花香自苦寒来 宝剑锋从磨砺出

★谨以此案赠送给有梦想的学子

第十四讲 函数的对称性和周期性

◆知识精要

1.同一个函数的对称性

◆我们先用二次函数来推出一般函数关于某条直线对称所具有的特点. 例如：已知二次函数f(x)?x2?4x?3，其图象关于直线x??2对称，思考下

面几个问题.

①求出f(?4?x)，f(?4?x)与f(x)是什么关系；

②求出f(x?2)和f(?6?x)，两者是什么关系；

③求出f(a?2)和f(?6?a)，两者是什么关系； 说明：

⑴经过计算我们发现，f(?4?x)?f(x)，f(x?2)?f(?6?x),

f(a?2)?f(?6?a)，这就说明点?4?x和点x等距离地位于对称轴x??2 的

两侧，同样的道理，点x?2和点?6?x等距离地位于对称轴x??2的两侧，点

a?2和点?6?a等距离地位于对称轴x??2的两侧.

⑵如果不告诉你函数f(x)的对称轴，只告诉你f(?4?x)?f(x)，你能求 出这个函数的对称轴吗？（提示：中点坐标公式：x?x1?x2） 2 ⑶炸弹总结：判断一个函数是轴对称函数的方法：就是将括号中的代数式 求和，如果变量x能消去，则这个函数就是轴对称函数；“和值?2”得到的结果

坚持吧，因为美好的生活将要实现了！ 1 梅花香自苦寒来 宝剑锋从磨砺出

就是对称轴.

例如：一个函数f(x)满足f(a?x)?f(b?x)，则这个函数一定是轴对称函数，对称轴是x对?

考考你：

⑴设函数y?f(x) 的定义域为R，且满足f(x?1)?f(1?x)，则y?f(x) 的图象关于 对称。

⑵设函数 y?f(x) 的定义域为R，且满足f(x?1)?f(1?x)，则 y?f(x) 图象关于 对称，y?f(x?1) 的图象关于 对称.

⑶已知函数y?f(x) 对一切实数x满足 f(x?4)?f(2?x) ，且方程f(x)?0 有 5个实根，则这5个实根之和为（ ） A、5 B、10 C、15 D、18

a?x?b?x.

2◆探讨函数关于点对称所具有的特点.

1 例如：已知函数f(x)?2?，求出该函数的对称中心，完成下面的问题.

x?1 ①求4-f(2?x)解析式，比较4-f(2?x)与f(x)的大小； ②求f(x?2)和4?f(?x)的解析式，并比较两者的大小。 说明：

⑴经过计算我们发现，4?f(2?x)?f(x)，f(x?2)?4?f(?x),我们

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把上式移项整理，得f(x)?f(2?x)?4，f(x?2)?f(?x)?4.我们会进一步 发现，括号中代数式求和除以2的结果正好是对称中心的横坐标，两个函数值 的和除以2的结果正好是对称中心的纵坐标.

⑵撇开这个函数的影响，如果条件中告诉你“f(x?2)?4?f(?x)”，你 能由此判断出这个函数是中心对称函数吗？你能求出它的对称中心吗？ ⑶炸弹总结：判断一个函数是中心对称函数的方法：等式中要具备两个特 点，一是将括号中的代数式求和，变量x必须能消去，二是两个函数值的和必须是一个定值，则这个函数就是中心对称函数；求对称中心的坐标非常简单，括号中的代数式求和，“和值?2”得到的结果是对称中心的横坐标，两个函数值的和?2得到的结果就是对称中心的纵坐标.

例如：一个函数f(x)满足f(a?x)?c?f(b?x)，则这个函数一定是中心对称函数，其对称中心是(a?x?b?xc,).

22例1 已知定义为R的函数f?x?满足f??x???f?x?4?，且函数f?x?在区间

?2,???上单调递增，如果x1?2?x2，且x1?x2?4，则f?x1??f?x2?的

值是（ ） A.恒小于0 B.恒大于0 C.可能为0 D.可正可负

考考你：

⑴已知函数y?f(x) 满足f(x)?f(2?x)?0 ,则y?f(x) 图象关于 对称.

⑵设y?f(x) 的定义域为R，且对任意x?R ，有 f(2x)?f(1?2x) ，则

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y?f(2x) 图象关于 对称，y?f(x)的图象关于 对称 .

知识补充：函数图象变换除了有“平移变换，对称变换”外，还有“伸缩变换”，聪明

的你想一想三角函数的伸缩变换.

如：由y?sinx的图象到y?sin2x的图象，经过了怎样的变换？其变换是“y?sinx图象上的点的纵坐标不变， 横坐标缩小到原来的1”如果由y?sin2x的图象到y?sinx的图象的变换，则是2“y?sin2x图象上的点的纵坐标不变， 横坐标扩大到原来的2倍”，这个记着了，你就可以记着“y?f(x)的图象到y?f(2x)的图象” 的变换过程了，这就是数学上重要的由特殊到一般的推理原理 .

知识补充：三角函数的图象变换你是死记硬背呢还是靠理解记忆呢？我们来分享一下变换原理. y?sinx的周期是2?，y?sin2x的周期是?，从周期上看，y?sinx的图象长度是y?sin2x的图象的长度的2倍，就是因为y?sin2x的图象变短了，所以由y?sinx的图象到

1y?sin2x的图象变换自然是x缩小了原来的.

2

2.两个函数关于轴对称或中心对称所具有的特点

说明：已知函数y?f(x)，经过不同的对称变换得到不同的函数，那么y?f(x)与得到的新函数之间具有什么样的对称关系？得到的新函数之间具有什么样的对称关系？下面就来研究这个问题 .

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