标题-2017-2018学年高中数学三维设计北师大选修1-1：第四章 2 导数在实际问题中的应用

3．已知对任意实数x，有f(－x)＝f(x)，且x＞0时，f′(x)＞0，则x＜0时( ) A．f′(x)＞0 C．f′(x)＝0

B．f′(x)＜0 D．无法确定

解析：因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．又x＞0时，f′(x)＞0，故f(x)在x＞0时为增加的，由偶函数在对称区间上单调性相反，可知当x＜0时，f(x)为减少的．

答案：B

4．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，则f(x)在R上为增加的充要条件是( ) A．b2－4ac＞0 C．b＝0，c＞0

B．b＞0，c＞0 D．b2－3ac≤0

解析：要使f(x)在R上为增加的，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0在R上恒成立(但f′(x)不恒等于零)，故只需Δ＝4b2－12ac≤0，即b2－3ac≤0.

答案：D

5．若函数f(x)在(0，＋∞)上可导，且满足f(x)＞－xf′(x)，则一定有( ) f?x?

A．函数F(x)＝在(0，＋∞)上为增加的

xf?x?

B．函数F(x)＝在(0，＋∞)上为减少的

xC．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为增加的 D．函数G(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上为减少的

解析：设y＝xf(x)，则y′＝xf′(x)＋f(x)＞0，故y＝xf(x)在(0，＋∞)上为增加的． 答案：C

6．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值与最小值分别是( ) A．5，－15 C．－4，－15

B．5,4 D．5，－16

解析：y′＝6x2－6x－12，令y′＝0，得x＝－1,2， 又f(2)＝－15，f(0)＝5，f(3)＝－4， ∴最大值、最小值分别是5，－15. 答案：A

7．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝( ) A．2 C．4

解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，

又f(x)在x＝－3处取得极值，∴f′(－3)＝30－6a＝0. 得a＝5. 答案：D

B．3 D．5

8．把长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )

33A. cm2

2C．32 cm2

B．4 cm2 D．23 cm2

解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x) cm，两个三角形的面积和为S＝

3233

x＋(4－x)2＝x2－23x＋43(0

令S′＝3x－23＝0，

则x＝2，且x<2时，S′<0,20. 所以x＝2时，S取最小值23. 答案：D

9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像的是( )

解析：∵[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f′(x)＋f(x)]ex，又x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，

∴f′(－1)＋f(－1)＝0，而选项D中f′(－1)>0，f(－1)>0，故D中图像不可能为y＝f(x)的图像．

答案：D

10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为( )

A．30元 C．28 000元

解析：设毛利润为L(p)，

由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20) ＝(8 300－170p－p2)(p－20) ＝－p3－150p2＋11 700p－166 000， 所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700. 令L′(p)＝0，

解得p＝30或p＝－130(舍去)．

B．60元 D．23 000元

此时，L(30)＝23 000.

因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0， 右侧L′(p)<0，

所以L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元． 答案：D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)

2

a－?x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋??3?________．

2

a－?＝0，此方程应有两个不相等的实数根，所以Δ>0. 解析：令f′(x)＝3x2＋2ax＋??3?2

a－?>0， 即4a2－12??3?∴a2－3a＋2>0，∴a>2或a<1. 答案：(－∞，1)∪(2，＋∞)

1

12．若函数f(x)＝ax2＋2x－ln x(a≠0)在区间[1,2]上是增加的，则实数a的最小值为

2________．

2

1ax＋2x－1

解析：易知x＞0，且f′(x)＝ax＋2－＝，∵函数f(x)在区间[1,2]上是增加的，

xx

∴f′(x)≥0对x∈[1,2]恒成立，即不等式ax2＋2x－1≥0对x∈[1,2]恒成立，即a≥

1－2x

x211121?2

－1－1恒成立，故a≥??－1?2－1?max，而当x＝2时，?－1?2－1取到最大值＝2－＝???x??x?xx?x3

－， 4

33

∴实数a的取值范围为a≥－，即实数a的最小值为－.

443

答案：－

4

2

13．某厂生产产品x件的总成本c(x)＝1 200＋x3(万元)，已知产品单价P(万元)与产品

75500

件数x满足：P＝，则产量定为________件时，总利润最大．

x

5002x32x32

解析：总利润L(x)＝x·－1 200－＝－＋500x－1 200(x ＞0)．由L′(x)＝－

757525x250

x2＋＝0得x＝25；令L′(x)＞0得0＜x＜25；令L′(x)＜0得x＞25.故L(x)在(0,25)上是

x增加的，在(25，＋∞)上是减少的，所以当产量定为25件时，总利润最大．

答案：25

a

14．已知函数f(x)＝2ln x＋2(a＞0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a

x的取值范围是________．

解析：f(x)≥2，即a≥2x2－2x2ln x，

令g(x)＝2x2－2x2ln x，则g′(x)＝2x(1－2ln x)． 1

由g′(x)＝0，得x＝e，0(舍去)，

2

11

且0＜x＜e时，g′(x)＞0，当x＞e时，g′(x)＜0，

2211

∴x＝e时，g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e.

22答案：[e，＋∞)

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax. (1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；

(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

解：f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.

2a

(1)由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，

18所以a＝9.

(2)因为Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)>0，

所以不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．

16．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax3＋bx2－2x＋c在x＝－2时有极大值6，在x＝1时有极小值，求a，b，c的值；并求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．

解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－2，由条件知 f′?－2?＝12a－4b－2＝0，??

?f′?1?＝3a＋2b－2＝0，??f?－2?＝－8a＋4b＋4＋c＝6.118解得a＝，b＝，c＝.

323118

(2)f(x)＝x3＋x2－2x＋，

323f′(x)＝x2＋x－2＝(x－1)(x＋2)． 列表如下：