标题-2017-2018学年高中数学三维设计北师大选修1-1：第四章 2 导数在实际问题中的应用

[思路点拨] 建立坐标系，求出OC所在抛物线的方程，用P(在OC上)的坐标表示矩形的面积，再求最大值．

[精解详析] 以O为原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，依题意可设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，且过点C(2,4)，所1以22＝2p×4，解得p＝. 2

故曲线段OC的方程为y＝x2(0≤x≤2)．设p(x，x2)(0

∴工业园的用地面积S＝PM·PN＝(2＋x)(4－x2)＝－x3－2x2＋4x＋8，则S′＝－3x2－4x＋4.

2

令S′＝0，得x＝或x＝－2(舍去)．

32

0，?时，S′>0，S是增加的； 当x∈??3?2?当x∈??3，2?时，S′<0，S是减少的．

2832832256

∴当x＝时，S取得最大值，此时PM＝，PN＝，Smax＝×＝≈9.5(km2)．

3393927328

故把工业园规划成长为 km，宽为 km时，工业园的用地面积最大，约为9.5 km2.

93[一点通]

对于面积、容积的最值问题，正确设出变量，准确写出面积、容积的表达式是解决问题的关键．利用导数来求函数的最值是解决问题的方法；若在所给区间[a，b]上，函数f(x)存在唯一的极值，必为函数的最值．

5．建造一个容积为8立方米，深为2米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米100元，池底的造价为每平方米300元，则总造价的最小值为( )

A．400元 C．1 600元

B．1 200元 D．2 800元

解析：设总造价为y元，池底的一边长x米，池底的面积为8÷2＝4(平方米)，池底的另4444

x＋?平方米，故有y＝4×300＋4?x＋?×100＝400?x＋?＋一边长为米，池壁的面积为4??x??x??x?x4

1－2?， 1 200(x＞0)．y′＝400??x?

令y′＝0得x＝2，由y′ ＞0得x ＞2，由y′＜0得0＜x＜2，

即y在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，所以当x＝2时，y取得最小值，且ymin＝2 800.

答案：D

6．用总长为14.8 m的钢条制成一个长方形容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

1

解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5) m，容器的高为[14.8－4x－4(x

4＋0.5)]＝(3.2－2x) (m)．

由x>0,3.2－2x>0，得0

∴x1＝1，x2＝－(不合题意，舍去)．

15当00，当1

∴容器的高为1.2 m时容积最大，最大容积为1.8 m3.

生活中的最值问题 [例4] 如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．

(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；

(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价． 200

[思路点拨] 可设长为x m，则宽为 m，然后表示出外周壁造价、中间隔墙造价及

x池底造价，这三部分的和即为总造价，用导数可求出最小值．

200

[精解详析] (1)设长为x m，则宽为 m，

x0

据题意得?200

0<≤16，??x

25

解得≤x≤16，

2

200400

2x＋2·?×400＋×248＋16 000 y＝?x??x259 20025＝800x＋＋16 000(≤x≤16)．

x2259 200

(2)y′＝800－＝0，

x2解得x＝18.

当x∈(0,18)时，函数y为减少的； 当x∈(18，＋∞)时，函数y为增加的． 25

又∵≤x≤16，

2

∴当x＝16时，y取最小值45 000.

∴当且仅当长为16 m、宽为12.5 m时，总造价y最低为45 000元． [一点通]

费用、用料最省、成本最低、利润最大等问题是日常生活中常见问题，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确写出函数表达式，准确求导，把数学结论返回到实际问题中去．

7．某工厂生产的机器销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产总成本y2(万元)也是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，，为使利润y(万元)最大，应生产( )

A．6千台 C．8千台

B．7千台 D．9千台

解析：利润y＝y1－y2＝18x2－2x3(x＞0)，y′＝－6x2＋36x，令y′＝0得x＝6；由y′＞0得0＜x＜6，y单调递增；由y′＜0得x＞6，y单调递减．所以当x＝6时，y取得最大值．

答案：A

8．某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m元(m为常数，且2≤m≤3)，设每个水杯的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，水杯的日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个．

(1)求该工厂的日利润y(元)与每个水杯的出厂价x(元)的函数关系式；

(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大，并求日利润的最大值． kk

解：(1)设日销售量为s，则s＝x，因为x＝40时，s＝10，故10＝40，则k＝10e40，所

ee

10e4010e40

以s＝x，故y＝x(x－30－m)(35≤x≤41)．

ee

ex－?x－30－m?ex31＋m－x40(2)y′＝10e×＝10e×.

ex?ex?240

31＋m－x

令y′＝10e40×＝0，则x＝31＋m.

ex当2≤m≤3时，y′＜0，所以y在35≤x≤41上为减函数，所以x＝35时，日利润取得最大值，且最大值为10e5(5－m)元．

用导数解决应用问题求最值的方法步骤：

[对应课时跟踪训练?十八?]

x

1．函数f(x)＝x在x∈[2,4]上的最小值为( )

eA．0 4C.4 e

x

解析：∵f(x)＝x，

eex－xex1－x

∴f′(x)＝x2＝x.

e?e?

当x∈[2,4]时，f′(x)＜0，即函数f(x)在[2,4]上是减少的，故当x＝4时，函数f(x)的最4

小值为4. e

答案：C

1B. e2D.2 e