标题-2017-2018学年高中数学三维设计北师大选修1-1：第四章 2 导数在实际问题中的应用

此时总成本的平均改变量为

C?20?－C?10?

＝67.5(元/件)，其表示产量从x＝10件提高到

20－10

x＝20件时，平均每件产品的总成本的改变量．

1

(2)∵C′(x)＝x＋60，

2

1

∴C′(75)＝×75＋60＝97.5(元/件)，

2

它指的是当产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元． [一点通]

生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)中，f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是产量为x0时，每增加一个单位的产量，需增加f′(x0)个单位的成本．

1

5．建造一幢长度为x m的桥梁需成本y万元，函数关系为y＝f(x)＝(x2＋x＋3)(x>0)．

10(1)当x从100变到200时，平均每米的成本为________； (2)f′(100)＝________，其实际意义为________． 解析：(1)f(100)＝1 010.3，f(200)＝4 020.3， ∴

f?200?－f?100?

＝30.1(万元/m)

200－100

即平均变化率为30.1万元/m.

1

(2)f′(x)＝(2x＋1)，∴f′(100)＝20.1(万元/m)，即当长度为100 m时，每增加1 m的

10长度，成本就增加20.1万元．

答案：(1)30.1万元 (2)20.1万元/m 当长度为100 m时， 每增加1 m的长度成本就增加20.1万元

6．日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断5 284

增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝(80

100－x

(1)求c′(x)；

(2)求c′(90)，c′(98)，并解释它们的实际意义． 5 284

解：(1)c′(x)＝?100－x?′

??

＝＝＝

?5 284?′×?100－x?－5 284×?100－x?′

?100－x?20×?100－x?－5 284×?－1?

?100－x?25 284

. ?100－x?2

5 284

(2)c′(90)＝＝52.84(元/吨)，

?100－90?25 284

c′(98)＝＝1 321(元/吨)．

?100－98?2因为函数的导数是净化费用的瞬时变化率，所以纯净度为90%时，纯净度每提高1个百分点，每吨水的费用就要增加52.84元．

纯净度为98%时，纯净度每提高1个百分点，每吨水的费用就要提高1 321元．

1．解决实际问题一般按下列思路：

2．解决实际问题的一般步骤：

(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系； (2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； (4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案．

[对应课时跟踪训练?十七?]

1．圆的面积S是半径r的函数S(r)＝πr2，那么在r＝3时，面积的变化率是( ) A．6 C．9π

B．9 D．6π

解析：面积S在r＝3时的变化率即为S′(3)＝2π×3＝6π. 答案：D

2．速度v关于时间t的函数关系式为v＝f(t)＝t2－10t，则t＝1时的加速度为( ) A．－9 C．9

B．－8 D．8

解析：f′(t)＝2t－10，∴f′(1)＝2×1－10＝－8， 即为t＝1时的加速度． 答案：B

3．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关

1

于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为( )

3

A．汽车刹车后1 s内的位移 B．汽车刹车后1 s内的平均速度 C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D．汽车刹车后1 s时的位移

解析：由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度． 答案：C

4．从时刻t＝0开始的t s内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q＝2t2＋3t表示，则第5 s时电流强度为( )

A．27 C/s C．25 C/s

B．20 C/s D．23 C/s

解析：某种导体的电量q在5 s时的瞬时变化率就是第5 s时的电流强度． ∵q′＝4t＋3，

∴当t＝5时，电流强度为4×5＋3＝23(C/s)． 答案：D

5．某物体的位移是时间的函数s＝2t3－at，物体在t＝1时的速度为8，则a的值为________．

解析：s′＝6t2－a，由题意得6×12－a＝8，∴a＝－2. 答案：－2

6．某商品价格P(单位：元)与时间t(单位：年)有函数关系式P(t)＝(1＋10%)t，那么在第8个年头此商品价格的变化速度是________．

解析：P′(t)＝1.1tln 1.1，∴P′(8)＝1.18ln 1.1(元/年)． 答案：1.18ln 1.1元/年

7．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(时间：s)间的关系式为h(t)＝－4t2＋7t＋16.

(1)求t从2 s到3 s时，高度关于时间t的平均变化率； (2)求h′(2)，h′(3)，并解释它们的实际意义． 解：(1)∵h(2)＝14，h(3)＝1，

∴t从2 s到3 s时，h关于t的平均变化率为 h?3?－h?2?1－14

＝＝－13(m/s)．

13－2(2)∵h′(t)＝－8t＋7，

∴h′(2)＝－9 m/s，h′(3)＝－17 m/s.

h′(2)和h′(3)分别表示t＝2 s和t＝3 s时，运动员每秒向下运动的高度为9 m和17 m.

120

8．蜥蜴的体温随周围环境的温度而变化，T(t)＝＋15表示蜥蜴的体温T(t)(单位：℃)

t＋5为太阳落山后的时间t(单位：min)的函数．

(1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了多少？

(2)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？

(3)求T′(5)，并解释它的实际意义． 120120

＋15? 解：(1)∵T(10)－T(0)＝＋15－?5??10＋5＝－16(℃)，

∴从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了16℃.

(2)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴体温的平均变化率是：1.6(℃/min)，

它表示从t＝0 min到t＝10 min这段时间内，蜥蜴体温平均每分钟下降1.6℃. 120－120

(3)∵T′(t)＝?t＋5＋15?′＝，

???t＋5?2120

∴T′(5)＝－2＝－1.2(℃/min)，

10

它表示t＝5 min时蜥蜴体温的下降速度为1.2 ℃/min.

2．2 最大值、最小值问题

[对应学生用书P54]

T?10?－T?0?－16

＝＝－

1010

假设函数y＝f(x)，y＝g(x)，y＝h(x)在闭区间[a，b]上的图像都是一条连续不断的曲线(如下图所示)，观察图像．

问题1：这三个函数在[a，b]上一定能够取得最大值、最小值吗？ 提示：一定能．

问题2：y＝h(x)在开区间(a，b)内有最值和极值吗？ 提示：无最值，也无极值．

问题3：如何求函数在区间[a，b]上的最值？