标题-2017-2018学年高中数学三维设计北师大选修1-1：第四章 2 导数在实际问题中的应用

§2

导数在实际问题中的应用 2．1 实际问题中导数的意义

[对应学生用书P51]

某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－4t2＋10t.

问题1：t从1 s到4 s时，功W关于时间t的平均变化率是多少？ W?4?－W?1?40－7

提示：＝＝11(J/s)．

34－1问题2：上述问题的实际意义是什么？

提示：它表示从t＝1 s到t＝4 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J. 问题3：W′(1)的实际意义是什么？ 提示：∵W′(t)＝3t2－8t＋10， ∴W′(1)＝5.

表示此人在t＝1s时每秒做功为5 J.

实际问题中导数的意义 1．功关于时间的导数是功率． 2．降雨量关于时间的导数是降雨强度． 3．生产成本关于产量的导数是边际成本．

4．路程关于时间的导数是速度．速度关于时间的导数是加速度．

5．质量关于长度的导数是线密度．

在日常生活中，有许多需要用导数概念来理解的量．如物理学中，速度是路程关于时间的导数，功率是功关于时间的导数．解决这些问题，要在阅读材料、理解题意的基础上，利用数学知识对模型进行分析，得到数学结论，然后再用数学结论解释实际问题．

[对应学生用书P52]

导数在物理学中的应用 [例1] 把原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．

(1)分别计算当x从0变到1，从2变到3时，原油温度y关于时间x的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义；

(2)计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． Δy

[思路点拨] (1)平均变化率即为. Δx

(2)可利用导数公式求出y′，再分别求当x＝2,6时的导数值． [精解详析] (1)由题意得f(0)＝15，f(1)＝9， ∴当x从0变到1时，原油温度平均变化率为 f?1?－f?0?

＝－6(℃/h)， 1－0

表示从0到1这一小时内，原油温度平均每小时降低6℃. 又f(2)＝5，f(3)＝3，

∴当x从2变到3时，原油温度平均变化率为 f?3?－f?2?

＝－2(℃/h)， 3－2

表示从2到3这一小时内，原油温度平均每小时降低2℃.

－6<－2，说明原油温度在开始的1小时比以后1小时的温度下降的多． (2)y′＝2x－7，当x＝2时，y′＝－3， 当x＝6时，y′＝5.

在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.这说明x＝2 h时原油温度大约以3℃/h的速率下降；x＝6 h时，原油温度大约以5℃/h的速率上升．

[一点通]

利用导数解决物理问题，关键是要熟悉相关的物理概念、公式，并联系导数的物理意义求解．

1．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则W′(t0)表示( ) A．t＝t0时做的功 C．t＝t0时的位移 答案：D

2．在F1赛车中，赛车位移与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s的单位为m，t的

B．t＝t0时的速度 D．t＝t0时的功率

单位为s)．求：

(1)t＝20，Δt＝0.1时的Δs与(2)求t＝20时的瞬时速度．

解：(1)∵Δs＝s(20.1)－s(20)＝(10×20.1＋5×20.12)－(10×20＋5×202)＝21.05， ∴

Δs21.05＝＝210.5(m/s)． Δt0.1

Δs

； Δt

(2)∵s′＝10＋10t，∴当t＝20时， s′＝10＋10×20＝210(m/s)， 即t＝20时的瞬时速度为210 m/s.

x2

h)的函数，设这个函数表示为y＝f(x)＝＋4x.

20

(1)求x从1 h变到4 h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求f′(1)，f′(4)，解释它的意义．

[思路点拨] 利用平均变化率的计算公式求解，然后结合实际问题正确解释其意义． [精解详析] (1)当x从1 h变到4 h时， 81176

产量y从f(1)＝ (g)变到f(4)＝ (g)，

202017681

－f?4?－f?1?202019

此时平均变化率为＝＝(g/h)，

3124－1

19

它表示从1 h到4 h这段时间这个人平均每小时生产 g产品．

12

x2217

(2)f′(x)＝＋，于是f′(1)＝ (g/h)，f′(4)＝ (g/h)，f′(1)和f′(4)分别表示在

10105x217

第1小时和第4小时这个人每小时生产产品 g和 g.

105

[一点通]

工作效率即产量对时间t的导数．解决该类问题时要正确表示出工作时间与产品数量之间的函数关系式，然后利用相应的求导公式及法则解决．

3．某考生在参加2011年高考数学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y＝2x.

(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率； (2)求f′(64)，f′(100)，并解释它的实际意义．

工作效率问题 [例2] 一名工人上班后开始连续工作，生产的产品数量y(单位：g)是工作时间x(单位：

f?36?－f?0?121

解：(1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变化率为：＝＝. 36336－01

它表示该考生前36分钟平均每分钟解答完道题．

3(2)∵f′(x)＝111，∴f′(64)＝，f′(100)＝.

810x

11

它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答和道题．

810

4．东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600.

(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；

(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量； (3)求c′(1 000)与c′(1 500)，并说明它们的实际意义． 解：(1)产量为1 000台时的总利润为

c(1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600(元)， c?1 000?

平均利润为＝5000.6(元)．

1 000

c?1 500?－c?1 000?

(2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为＝

1 500－1 0006 000 600－5 000 600

＝2 000(元)．

500

(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7 000x＋600)′＝－4x＋7 000， ∴c′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元)， c′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元)，

它指的是当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元． 而当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元.

导数在日常生活中的应用 [例3] 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成1

本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)＝x2＋60x＋2 050.

4

(1)当日产量由10件提高到20件时，求总成本的平均改变量，并说明其实际意义； (2)求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义．

[思路点拨] (1)利用函数平均变化率计算，然后结合实际问题解释． (2)用瞬时变化率的意义解释．

[精解详析] (1)当x从10件提高到20件时，总成本C从C(10)＝2 675(元)变到C(20)＝3 350(元)，