工数习题集

第十一次

一、填空题： 1 设z?a为函数

留数（2）

?f?(z)?f(z)的m级极点，那么Res?,a?? 。

?f(z)?12 积分

?z3ezdz? 。

z?13

Res??z?1??z2?2z,?2??= 二、求下列函数在有限奇点处的留数：

1） z?1z2?2z

3） 1?z4(z2?1)3

5）

z2sin1z

三、利用留数计算下列积分（圆周均取正向）

21

1?e2z2）z4 4） zcosz

6） 1zsinz

e2zdz 2) 1） ?2?|z|?2(z?1)

3)

z15dz 2243??|z|?3(z?1)(z?2)1dz（其中为正整数，且|a|?1,|b|?1,|a|?|b|） nn??(z?a)(z?b)|z|?1

*五 计算下列积分 1） 2） 3）

22

?2?01d?

5?3si?n???0x2dx 41?x?????xsinxdx 1?x2*第十二次

一、填空题 （1） 将单位圆

共形映射

z?1映射为圆域??R的分式线性变换的一般形式为 。

1?1且满足?(1?i)?0?(1?2i)?的分

3（2） 把上半平面Im(z)?0映射成单位圆?(z)式线性变换 。

（3） 映射??e将带形域0?Im(z)?z3?映射为 。 4（4） 一般分式映射的性质有 ， ， 。 （5） 将点2,i,?2映射为?1,i,1的分式线性映射是 。

二、求??z在z?i处的伸缩率和旋转角。问：将??z经过点z?i且平行于实轴正向的

曲线的切线方向映射成?平面上哪一方向？并作图。

三、求把单位圆映射成单位圆的分式线性映射，并满足条件：

1)

23

221f()?0，f(?1)?1； 22)

3）

11?f()?0，argf'()?； 22211f()?0，argf'()?0； 22四、求分式线性映射??f(z)，它将Im(z)?0映射成??1且满足条件f(i)?0，

argf'(i)?

?2。

五、证明任何一个分式线性映射w?

az?b都可以认为 ad?bc?1 。

cz?d24