工数习题集

第九次 泰勒级数 洛朗级数

一、填空题

（1）函数arctanz在z?0处的泰勒展开式为 （2）函数e（3）函数ez?e在0?|z|???内的洛朗展开式为

在z?0处泰勒展开式的收敛半径为

1zsinz??1（4）设??an(z?1)n,z?1?1，则a?3? z(z?1)n???（5）函数

1在1?z?i???内的洛朗展开式是

z(z?i)二、求下列各函数在指定点z0处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： 1） 3）

z?1z,z0?1； 2）,z0?2； z?1(z?1)(z?2)11,z??1,z?1?i ； 4）04?3z0z2

17

三、把下列各函数在指定的圆环域内展开成罗朗级数。 1）

1,0?|z|?1;1?|z?2|???；

z(z?1)(z?2)

2） 3）

四、设C为正向圆周

1,1?|z|?3 2z?2z?31,0?|z|?1;0?|z?1|?1； 2z(1?z)z?3，利用洛朗级数展开式计算下列积分：

1）

1zdz； 2）?Cz(z?1)2?C(z?1)(z?2)dz。

18

第十次 留数（1）

一、填空题： 1． 设z?0为函数z2． 如果z0是

2?sinz2的m级零点，那么m? f(z)的m(m?1)级零点，那么z0是f?(z)的 级零点。

1的 z?13． z?1是函数(z?1)sin4． z?1是

f(z)?sinz的 级极点。 3(z?1)二、下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级： 1）． 2）． 3）．

19

1 22z(z?1)1

z3?z2?z?1nsiz?z 3z4）． ez?1z

5）．

11(?1()z2)?e?z 20