《金版学案》2016-2017学年高中数学人教版选修1-2练习第二章推理与证明2.2-2.2.2反证法Word版含答案

第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明

2.2.2 反证法

A级 基础巩固

一、选择题

1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )

①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论． A．①② C．①②③

B．①②④ D．②③

解析：由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以作为条件使用的．

答案：C

2．(2014·山东卷)用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )

A．方程x＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x＋ax＋b＝0恰好有两个实根

解析：“方程x＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x＋ax＋b＝0没有实根．” 答案：A

3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：

①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．

则正确的序号顺序为( ) A．①②③ C．①③②

B．③①② D．②③①

2

2

2222

2

解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②. 答案：B

4．(1)已知p＋q＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，

(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是

2

3

3

( )

A．(1)与(2)的假设都错误 B．(1)与(2)的假设都正确 C．(1)的假设正确；(2)的假设错误 D．(1)的假设错误；(2)的假设正确

解析：(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确． 答案：D

5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于( ) A．0 1C.

2

1B. 3D．1

1

解析：假设a，b，c都小于，则a＋b＋c<1，与a＋b＋c＝1矛盾，选项B正确．

3答案：B 二、填空题

6．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b?α，直线c?β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．

解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交， ∴应假设b与c平行或相交． 答案：b与c平行或相交

7．完成反证法证题的全过程．设a1，a2，…，a7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．

证明：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．

解析：由假设p为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数， 故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)

＝(a1＋a2＋…a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数． 答案：(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)

8．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数，且a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．

解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a>b，n∈N，则恒有an>bn，从而an＋2>bn＋1恒成立，所以不存在n使an＝bn.

答案：0 三、解答题

*

9．用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行． 证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行． 假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，

b′∥a.

因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．

10．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．

证明：假设a，b，c，d都是非负数． 因为a＋b＝c＋d＝1 ∴(a＋b)(c＋d)＝1

又因为(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd， 所以ac＋bd≤1.

这与已知ac＋bd>1矛盾，因此假设不成立． 所以a，b，c，d中至少有一个是负数．

B级 能力提升

111

1．设a，b，c大于0，则3个数：a＋，b＋，c＋的值( )

bcaA．都大于2 C．都小于2

B．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2

111

解析：假设a＋，b＋，c＋都小于2

bca111则a＋<2，b＋<2，c＋<2 bca111

∴a＋＋b＋＋c＋<6，①

bca又a，b，c大于0

111

所以a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2.

abc111

∴a＋＋b＋＋c＋≥6.②

bca故①与②式矛盾，假设不成立

111

所以a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.

bca答案：D

2．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a＋b>2.

2

2

其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．

解析：显然①、②不能推出，③中a＋b>2能推出“a，b中至少有一个大于1”否则a≤1，且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾．④中取a＝－2，b＝0，推不出．

答案：③

3．求证：1、3、2不能为同一等差数列的三项． 证明：假设1，3，2是数列{an}(n∈N)中某三项， 不妨设为an＝1，am＝3，ap＝2，(n，m，p互不相等) 由等差数列定义可有即

*

am－anap－an＝ m－np－n3－11m－n＝，则3－1＝. m－np－np－n由于m，n，p是互不相等的正整数， 所以

m－n必为有理数，而3－1是无理数，二者不会相等． p－n所以假设不成立，结论正确．