湖北省武汉市江汉区2016年中考数学二模试卷（解析版）

∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上； ②

为定值2．

连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心． 如图3，设MN交BC于点G，

设DM=x，DN=y（x≠0，y≠O），则CN=y﹣1， ∵BC∥DA，

∴∠GBP=∠MDP，∠BGP=∠DMP， 又由（1）知BP=DP， ∴△GBP≌△MDP（AAS）， ∴BG=DM=x， ∴CG=1﹣x． ∵BC∥DA， ∴△NCG∽△NDM， ∴∴

==，

，

∴x+y=2xy， ∴+=2， 即

=2．

【点评】此题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形的外心的判定与性质，菱形的性质等知识．此题综合性很强，图形也比较复杂，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．

24．（12分）（2016?江汉区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线c1：y=ax2﹣4a+4（a＜0）经过第一象限内的定点P．

（1）直接写出点P的坐标；

（2）直线y=2x+b与抛物线c1在相交于A、B两点，如图1，直线PA、PB与x轴分别交于D、C两点，当PD=PC时，求a的值；

（3）若a=﹣1，点M坐标为（2，0）是x轴上的点，N为抛物线c1上的点，Q为线段MN 的中点．设点N在抛物线c1上运动时，Q的运动轨迹为抛物线c2，求抛物线c2的解析式．【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）点P为定点，则定点P的坐标与a无关；

（2）设点A、B的坐标分别为A（x1，ax12﹣4a+4）、B（x2，ax22﹣4a+4）．如图，过点B作BG∥y轴，过点P作PG∥x轴，BG、PG相交于点G，过点A作AH∥x轴，过点P作PH∥y轴，AH、PH相交于点H．通过相似三角形Rt△PGB∽Rt△AHP的对应边成比例得到

=

，即

=

，则a（x1+x2）=﹣4a=2；

（3）设点Q的坐标为（xQ，yQ），点N的坐标为（xN，yN）．根据中点坐标的性质得到：xN=2xQ﹣2，yN=2yQ．所以把点N的坐标代入抛物线c1的解析式得到yN=﹣xN2+8． 以点N的坐标表示点Q，则将其代入抛物线c1的解析式得到：抛物线c2的解析式为y=﹣2x2+4x+2．

【解答】解：（1）∵y=ax2﹣4a+4=a（x2﹣4）+4，该函数图象过第一象限内的定点P， ∴x2﹣4=0，

解得 x=2或x=﹣2（舍去）， 则y=4，

∴点P的坐标是（2，4）；

（2）设点A、B的坐标分别为A（x1，ax12﹣4a+4）、B（x2，ax22﹣4a+4）． 又∵点A、B在直线y=2x+b上， ∴a（x1+x2）=2．

如图，过点B作BG∥y轴，过点P作PG∥x轴，BG、PG相交于点G，过点A作AH∥x轴，过点P作PH∥y轴，AH、PH相交于点H． ∵PD=PC， ∴∠PDC=∠PCD． ∵AH∥x轴， ∴∠PAH=∠PDC． 同理，∠BPG=∠PCD， ∴∠AHP=∠PGB， ∴Rt△PGB∽Rt△AHP， ∴

=

，即

=

，

∴x1+x2=﹣4，

∴a=﹣；

（3）设点Q的坐标为（xQ，yQ），点N的坐标为（xN，yN）． ∵M（2，0）．

由点Q是线段MN的中点，可以求得，xN=2xQ﹣2，yN=2yQ． ∵a=﹣1，

∴抛物线c1的解析式为y=﹣x2+8． ∵点N在抛物线c1上， ∴yN=﹣xN2+8．

∴2yQ=﹣（2xQ﹣2）2+8，即yQ=﹣2xQ2+4xQ+2， ∴抛物线c2的解析式为：y=﹣2x2+4x+2．

【点评】本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判断与性质以及二次函数图象上点的坐标特征．解答（3）题的技巧性在于用点Q的坐标表示点N的坐标，然后把点N的坐标代入其所在抛物线的解析式，通过化简可以求得抛物线c2的解析式．