高中数学(人教A版)选修2-2第一章导数及其应用测试题(含详解).docx

此时容器的高为3.2－2＝1.2m.

因此，容器高为1.2m时容器的容积最大，最大容积为1.8m3. 19．(12分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax(a∈R)． (1)当a＝1时，求证：f(x)为R上的单调递增函数； (2)当x∈[1,3]时，若f(x)的最小值为4，求实数a的值． 解 (1)证明：当a＝1时，f(x)＝2x3－6x2＋6x，则f′(x)＝6x2－12x＋6＝6(x－1)2≥0，

∴f(x)为R上的单调增函数． (2)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a ＝6(x－1)(x－a)

①当a≤1时，f(x)在区间[1,3]上是单调增函数，此时在[1,3]上的最小值为f(1)＝3a－1，

5

∴3a－1＝4，∴a＝3>1(舍去)；

②当1

③当a≥3时，f(x)在区间(1，a)上是减函数，故f(3)为最小值， ∴54－27(a＋1)＋18a＝4， 22

解得a＝9<3(舍去)． 综上可知，a＝2.

a

20．(2010·北京)(12分)设函数f(x)＝3x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两根分别为1,4.

(1)当a＝3，且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式； (2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．

a3

解 由f(x)＝3x＋bx2＋cx＋d，得

f′(x)＝ax2＋2bx＋c，∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根分别为1,4，

??a＋2b＋c－9＝0，∴?(*) ??16a＋8b＋c－36＝0，

??2b＋c－6＝0，(1)当a＝3时，由(*)得?

?8b＋c＋12＝0，?

解得b＝－3，c＝12.

又∵曲线y＝f(x)过原点，∴d＝0. 故f(x)＝x3－3x2＋12x.

a

(2)由于a>0，所以“f(x)＝3x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)内无极值点”，等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．

由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a. 又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)，

??a>0，解?得a∈[1,9]， ??Δ＝9?a－1??a－9?≤0，

即a的取值范围是[1,9]．

21．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图像经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．

(1)求实数a，b的值；

(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求m的取值范围． 解 (1)∵f(x)＝ax3＋bx2的图像经过点M(1,4)， ∴a＋b＝4.①

又f′(x)＝3ax2＋2bx，则

1

f′(1)＝3a＋2b，由条件f′(1)(－9)＝－1， 得3a＋2b＝9②

由①、②解得a＝1，b＝3. (2)f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x，

令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≥0，或x≤－2，

若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则[m，m＋1]?(－∞，－2]∪[0，＋∞)，

∴m≥0，或m＋1≤－2，即m≥0，或m≤－3， ∴m的取值范围是(－∞，－3]∪[0，＋∞)．

22．(2010·全国Ⅰ)(12分)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1. (1)若xf′(x)≤x2＋ax＋1，求a的取值范围； (2)证明：(x－1)f(x)≥0.

x＋11解 (1)f′(x)＝x＋lnx－1＝lnx＋x， xf′(x)＝xlnx＋1，

题设xf′(x)≤x2＋ax＋1等价于lnx－x≤a. 1

令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝x－1. 当00； 当x≥1时，g′(x)≤0， x＝1是g(x)的最大值点， g(x)≤g(1)＝－1.

综上，a的取值范围是[－1，＋∞)． (2)由(1)知，g(x)≤g(1)＝－1， 即g(x)＋1≤0，即lnx－x＋1≤0，

当0

f(x)＝lnx＋(xlnx－x＋1) 1

＝lnx＋x(lnx＋x－1) 11

＝lnx－x(lnx－x＋1)≥0. 所以(x－1)f(x)≥0.