2019-2020学年数学人教A版选修2-1检测：2.3.2.1双曲线的简单几何性质

bb＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝x，x2＋y2＝4得xA＝

22yA＝

32b

，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝＝2b，解得b2＝12， 24＋b4＋b22b

44＋b

2

，x2y2

∴所求的双曲线方程为－＝1.

412

答案：D

7．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )

A.5 B．2 C.3 D.2

x2y2

解析：设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图所示，

ab

|AB|＝|BM|＝2a，∠MBA＝120°，过M作MH⊥x轴于H，则∠MBH＝60°，|BH|＝a，|MH|

x2y2

＝3a，所以M(2a，3a)．将点M的坐标代入双曲线方程2－2＝1，得a＝b，所以e＝2.ab故选D.

答案：D

x22

8．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线2－y＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支

a

→→

上的任意一点，则OP·FP的取值范围为( )

A．[3－23，＋∞) B．[3＋23，＋∞)

77

－，＋∞? D.?，＋∞? C.??4??4?解析：因为F(－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝4，即a2＝3，所以双曲线方程x22x2x200→22

为－y＝1.设点P(x0，y0)(x0≥3)，则－y0＝1(x0≥3)，可得y0＝－1(x0≥3)，易知FP＝333

x24x200→→→2

(x0＋2，y0)，OP＝(x0，y0)，所以OP·FP＝x0(x0＋2)＋y0＝x0(x0＋2)＋－1＝＋2x0－1，此二

33

34→→

次函数对应的图象的对称轴为x0＝－.因为x0≥3，所以当x0＝3时， OP·FP取得最小值×3

43

→→

＋23－1＝3＋23，故OP·FP的取值范围是[3＋23，＋∞)．

答案：B

二、填空题

9．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点为直线3x－4y＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是________________．

解析：由双曲线的实轴在x轴上知其焦点在x轴上，直线3x－4y＋12＝0与x轴的交点坐标为(－4,0)，故双曲线的一个焦点为(－4,0)，即c＝4.设等轴双曲线方程为x2－y2＝a2，则c2＝2a2＝16，解得a2＝8，所以双曲线方程为x2－y2＝8.

答案：x2－y2＝8

10．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为________．

b1a1

解析：∵由已知可得－＝－或－＝－，

a2b2

b1b∴＝或＝2. a2a

c又∵＝a答案：

a2＋b2

＝a2

b25

1＋2，∴e＝或5. a2

5

或5 2

x2y2

11．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(5，0)，则

ab

a＝________；b＝________.

b

解析：由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知＝2，由c

a＝5，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1.

答案：1 2

x2y2

12．过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两

ab

点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．

b2

解析：由题意知，a＋c＝，即a2＋ac＝c2－a2，

a

∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，

解得e＝2或e＝－1(舍去)． 答案：2 三、解答题

x2y2

13．求与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点(3，－4)的双曲线方程．

93

x2y2

解析：由题意可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，

93∵双曲线经过点(3，－4)，

2

?3?2?－4?∴λ＝－＝－5.

93

y2x2

故所求双曲线方程为－＝1.

1545

14．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求此双曲线的方程；

→→

(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求证：F1M·F2M＝0.

c

解析：(1)∵离心率e＝＝2，∴a＝b.

a

设双曲线方程为x2－y2＝n(n≠0)，

∵(4，－10)在双曲线上，∴n＝42－(－10)2＝6. 故所求双曲线方程为x2－y2＝6.

(2)证明：∵M(3，m)在双曲线上，则M(3，±3)，

mmm2

∴kMF1·kMF2＝·＝－＝－1.

33＋233－23→→

故F1M·F2M＝0.

能力提升 x2

y2

15.设双曲线2－2＝1(0

ab3

l的距离为c，求双曲线的离心率．

4

|b·0＋a·0－ab|xy3

解析：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.于是有＝c，所以ab

ab4

a2＋b2

323

c，两边平方，得a2b2＝c4.又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，两边同时除以a4，416

4

得3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝.

3＝

又b>a，所以

e2＝

a2＋b2b2

＝1＋2>2， a2a

则e＝2.于是双曲线的离心率为2.

16．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝213，

椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为37.

(1)求这两曲线方程；

(2)若P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积．

x2y2x2y2

解析：(1)设椭圆方程为2＋2＝1，双曲线方程为2－2＝1(a，b，m，n>0，且a>b)，

abmn

??a－m＝4，

则?1313

7×＝3×，?am?

解得a＝7，m＝3，所以b＝6，n＝2，

x2y2x2y2

所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.

493694

(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4，

|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|24

所以cos∠F1PF2＝＝，

2|PF1|·|PF2|5

113

所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝×10×4×＝12.

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